¿Cómo puede una densidad de probabilidad de ser mayor que uno y se integran a una

Question

Wikipedia dice:

La función de densidad de probabilidad es no negativa en todas partes, y su integral sobre todo el espacio es igual a uno.

y también dice.

A diferencia de probabilidad, función de densidad de probabilidad puede tomar valores mayores que uno; por ejemplo, la distribución uniforme en el intervalo $[0, \frac{1}{2}]$ ha de densidad de probabilidad $f(x) = 2$ para $0 ≤ x ≤ \frac{1}{2}$ y $f(x) = 0$ en otros lugares.

¿Cómo son estas dos cosas son compatibles?

Answer 1

Considerar la distribución uniforme en el intervalo de $0$ a $1/2$. El valor de la densidad es de $2 dólares en dicho intervalo, y$0$en otros lugares. El área bajo la gráfica es el área de un rectángulo. La longitud de la base es de$1/2$, y la altura es de 2$$\int\text{densidad} = \text{área de rectángulo} = \text{base} \cdot\text{altura} = \frac 12\cdot 2 = 1.$$

Más generalmente, si la densidad tiene un gran valor, más que en una pequeña región, entonces la probabilidad es comparable con el valor de veces el tamaño de la región. (Digo "comparables" en lugar de "igual a" porque el valor no puede ser la misma en todos los puntos de la región). La probabilidad dentro de la región no debe exceder los $1$. Un gran número---mucho mayor que $1$---multiplicado por un número pequeño (el tamaño de la región) puede ser menos de $1$ si este último número es lo suficientemente pequeño.

Answer 2

Recordar que el 'pd' en pdf es sinónimo de "densidad de probabilidad", no probabilidad. Densidad significa la probabilidad por unidad de valor de la variable aleatoria. Que pueden superar fácilmente 1. Lo cierto es que la integral de esta función de densidad de tomarse con respecto a este valor debe ser exactamente 1.

si sabemos que un pdf de la función(por ejemplo, la distribución normal), y se desea saber la "probabilidad" de un valor dado, digamos x=1, ¿qué hará la gente suele hacer? Para encontrar la probabilidad de que la salida de un evento aleatorio es dentro de algún rango, se puede integrar el archivo pdf a través de este rango.

También ver por Qué mvnpdf dar probabilidad mayor que 1?

Answer 3

Me gustaría señalar un ejemplo extremo. Considere la posibilidad de una densidad de probabilidad $$\begin{ecuación} f(x) = \begin{casos} \frac{1}{2d},& -d \leq x\leq +d \\ 0, & \text{en otros lugares} \end{casos} \end{ecuación}$$ Ahora, $\forall ~ d\neq0$
$$\begin{ecuación} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1 \end{ecuación}$$ Comience con un pequeño $d$ e integral de nuevo. Va a ser la misma. Esto se pone realmente interesante cuando tomamos el límite cuando $d \rightarrow0$ . La integral es de nuevo 1, ¿pero cómo es que $f(x)$ parece? $$\begin{ecuación} \lim_{d \to 0} f(x) = \begin{casos} \infty, & x=0 \\ 0, & \text{en otros lugares} \end{casos} \end{ecuación}$$ Este límite se denomina como la delta de Dirac de la función $\delta(x)$, que no es realmente una función, pero el límite de una función. Por lo que la línea de fondo aquí

No sólo la densidad de probabilidad puede ir de más de $1$, se puede suponer incluso más valores (el más grande es de señalar aquí) tan largo como el área bajo es $1$.