Contando diagonalizable matrices en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$

Question

Cuántos diagonalizable matrices hay en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ ? Donde $p$ es un número primo.

Intento : Por definición una matriz se llama diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ tal que $P^{−1}AP$ es diagonal. Dado que el número de no-singular matrices de $\mathcal{G}\mathcal{L}_{n}(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})$$\prod\limits^{n-1}_{i=0}(p^{n}-p^{i})$, podemos probar esta contando el número de la base de $\Bbb{Z}/p\Bbb{Z}^{n}$. Y el número de diagonales de las matrices es $p^n$. Así que, básicamente, yo diría que el resultado es $$\prod\limits^{n-1}_{i=0}(p^{n}-p^{i})\times p^{n}.$$

¿Me olvido de algo ?

EDIT : Ok es un error, según el Azul comentarios.

Answer 1

Su fórmula, se supone que la diagonal de las matrices puede ser representado como $PDP^{-1}$ para algunos matriz diagonal $D$ e invertible la matriz de $P$ únicamente. Esto no es cierto: $D$ es único, sino $P$ no lo es.

Sin pérdida de generalidad podemos trabajar sobre arbitraria $\Bbb F_q$; este no agrega difícil.

Tenemos que calcular el tamaño de la órbita de una matriz diagonal bajo la acción de ${\rm GL}_n(\Bbb F_q)$ y, a continuación, suma sobre todos los posibles diagonal de las matrices modulo de permutación. Por la órbita-estabilizador de teorema, el tamaño de la órbita es igual a $|{\rm GL}_n(\Bbb F_q)|$ dividido por el estabilizador de una matriz dada.

Dada una matriz diagonal ${\rm diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$, $P\in{\rm GL}_n(\Bbb F_q)$ act trivialmente por la conjugación?

Primer pensamiento: esto es equivalente a $P\in {\rm GL}_n(\Bbb F_q)$ la preservación de la descomposición de la $\Bbb F_q^n$ en subespacios propios, lo que significa que tales $P$ son directos sumas de arbitrario invertible mapas en ellos.

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Con este enfoque puedo conseguir

$$\sum_{r=1}^n \binom{q}{r}\sum_{\substack{m\vdash n \\ {\rm len}(m)=r}}\langle m\rangle^r\frac{|{\rm GL}_n(\Bbb F_q)|}{|{\rm GL}_{m_1}(\Bbb F_q)|\cdots|{\rm GL}_{m_r}(\Bbb F_q)|}.$$

donde $\langle m\rangle$ para mis propósitos denota el número de los distintos entires en el $r$-tupla $m$.

(Creo que por fin lo tenemos a la derecha.) No está seguro de cómo simplificar.