Acerca de las integrales w.r.t. el recuento de medida

Question

Considerar la medida del espacio de $(\mathbb{Z},\mathcal{P}(\mathbb{Z}),\#)$ donde $\#$ es el recuento medida en $\mathbb{Z}$ $\mathcal{P}(\mathbb{Z})$ es su juego de poder.

Me gustaría mostrar que para cualquier función medible tenemos $\int f(n)d\#(n)=\sum_{n}f(n)$.

Esto es lo que he hecho: Vamos a $x\in\mathbb{Z}$ y considerar la función del indicador de $1_{\{x\}}$. Entonces $$\int_\mathbb{Z} fd\#=\int_\mathbb{Z} 1_{\{x\}}d\#=\#\{x\}=1,$$ for $f=1_{\{x\}}$. Next, for a step function $f=\sum_{k=-n}^na_k1_{\{x_k\}}$ (where $x_k\in\mathbb{Z}$ and $a_k$ are real rumbers for all $k$) we have $$\int_\mathbb{Z} fd\#=\sum_{k=-n}^na_k\int_\mathbb{Z}1_{\{x\}}d\#=\sum_{k=-n}^na_k.$$

¿Cómo puedo finalizar esta prueba? Aún tengo que probar la declaración del arbitrariamente medibles función.

Answer 1

Creo que la declaración contiene sólo para los positivos medibles funciones. Si usted toma $ f(n) = \frac{(-1)^n}{n} $ $ \sum_n f(n) < \infty $ pero $$ \int_\mathbb{Z} f^+ d\# = \int_\mathbb{Z} f^- d\# = \infty $$ So you end up with $\infty-\infty $

Answer 2

Sugerencia: Deje $f$ ser una función medible, $f \geq 0$. Entonces existe una secuencia $(f_n)_n$ de paso las funciones que $f = \sup_n f_n$. Ahora aplicar la monotonía de convergencia y el uso de la fórmula para el paso de las funciones (que usted ya ha demostrado).

Si $f$ es un arbritary medibles función se puede escribir $f$ $f=f^+-f^-$ donde $f^+$, $f^- \geq 0$ son funciones medibles.