Es una función continua entre dos uniforme de funciones continuas uniformemente continua?

Question

Lo siento por la larga la pregunta en el título. Dadas tres funciones $\underline{f}(x), f(x), \overline{f}(x)$ que cumplir con los siguientes

1. $\underline{f}(x)\leq f(x)\leq \overline{f}(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$,
2. $\underline{f}(x)$ $\overline{f}(x)$ ambos son uniformemente continuas y acotadas en $\mathbb{R}$, y
3. $f(x)$ es continua en a $\mathbb{R}$.

Es $f(x)$ uniformemente continua en a $\mathbb{R}$?

La conclusión deseada parece intuitivo, pero me quede atascado al intentar demostrarlo. Tengo duro el tiempo de poner las condiciones de juntos. Cualquier sugerencia es muy apreciada!

Answer 1

Las funciones de $\bar f(x) = 1$ $\underline f(x) = -1$ son uniformemente continuas.

La función de $f(x) = \sin(x^2)$ no es uniformemente continua. (Tome $\epsilon = \frac{1}{2}$, por ejemplo).

Answer 2

No, desde una limitada función como $\sin(x^2)$ no es necesariamente uniformemente continua. Por ejemplo, $\sin(x^{1/2})$ no lo es.