Un bajo grado del polinomio $g_{a,b}(x)$ que tiene un cero $x\in\mathbb N$ para cualquiera de los números al cuadrado $a,b$?

Question

Pregunta : Dejar a $a,b$ ser números naturales, ¿existe un $n$-ésimo grado entero-los coeficientes del polinomio $g_{a,b}(x)$ que satisface las tres condiciones siguientes?

• Condición 1: $1\le n\le3.$

• Condtion 2: Si $a,b$ son números al cuadrado, entonces existe un número natural $x$ tal que $g_{a,b}(x)=0$.

• Condición 3: Si existe un número natural $x$ tal que $g_{a,b}(x)=0$, $a,b$ son números al cuadrado.

Si existe, ¿podrías mostrarme el ejemplo? Si no existe, entonces podrías probar eso?

Motivación : he tratado de generalizar el hecho de que para cualquier $a\in\mathbb{N}$ no es un polinomio $f_a(x)=x^2-a$ tal que

$$\text{ "$a$ es un número cuadrado $\iff$ existe un número natural $x$ tal que $f_a(x)=0$." }$$

Esto me hizo interesado en la búsqueda de un número entero-los coeficientes del polinomio $g_{a,b}(x)$ que satisface las condiciones 2 y 3. Yo era capaz de encontrar esta $4^\text{th}$ grado del polinomio:

\begin{align*} g_{a,b}(x) &=x^4-2(a+b)x^2+(a-b)^2. \\ \\ &=(x-\sqrt a-\sqrt b)(x+\sqrt a+\sqrt b)(x+\sqrt a-\sqrt b)(x-\sqrt a+\sqrt b) \end{align*}

Podemos mostrar que en este ejemplo se satisface las dos condiciones.

Prueba : en Primer lugar, desde la $a,b$ son números al cuadrado $\Rightarrow$ $\sqrt a+\sqrt b$ es un número natural, entonces, dejando $x=\sqrt a+\sqrt b$, obtenemos $g_{a,b}(x)=0.$ Por otro lado, si $g_{a,b}(x)=0$, entonces obtenemos $x=\pm\sqrt a\pm\sqrt b.$ (cuatro posibilidades)

Por lo tanto tenemos $$x^2\mp2x\sqrt a+a=b$$ $$x^2+a-b=\pm2x\sqrt a$$ $$(x^2+a-b)^2=4x^2a.$$

Después de llegar a esto, he tratado de encontrar una similar polinomio de grado menor, pero puedo ni encontrar ni demostrar que no hay tal polinomio. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$\def\QQ{\mathbb{Q}}\def\ZZ{\mathbb{Z}}$Me pueden establecer los siguientes:

Teorema Deje $g(a,b,x)$ ser un polinomio en $\mathbb{Q}(a,b,x)$. Supongamos que $g$ tiene una raíz racional en $x$ si y sólo si $a$ $b$ son racionales plazas. A continuación,$\deg_x g \geq 4$.

Estoy 95% seguro de que puede modificar la prueba para trabajar con números enteros plazas, y va a volver y publicar una versión modificada cuando tengo tiempo.

---

Supongamos que $g(a,b,x) \in \QQ(a,b,x)$ y que, siempre que $a$ $b$ se entero de plazas, a continuación, $g(a,b,x)$ tiene una raíz racional. (He elegido deliberadamente el más débil de la combinación de $\QQ$ $\ZZ$ por mi hipótesis, por lo que el resultado es tan fuerte como sea posible.) Voy a demostrar que al menos uno de los siguientes es verdadera.

1. $g(u^2,b,x)$ tiene una raíz racional para todos los $(u,b) \in \mathbb{Q}^2$.
2. $g(a,v^2,x)$ tiene una raíz racional para todos los $(u,b) \in \mathbb{Q}^2$.
3. $g(a,a w^2,x)$ tiene una raíz racional para todos los $(a,w) \in \mathbb{Q}^2$.
4. $\deg_x g \geq 4$.

Set $h(u,v,x) = g(u^2,v^2,x)$. Por lo $h(u,v,x)$ tiene un número entero de la raíz por cada $x$. Deje $h(u,v,x) = \prod_i h_i(u,v,x)$ ser la factorización de $h$ en irreducibles.

Lema al menos uno de los $h_i$ $x$grado $1$.

Prueba: Si $\deg_x h_i \geq 2$ a continuación, Hilbert irreductibilidad teorema nos dice que $h_i$ no tiene raíces racionales para "la mayoría" de los valores de $(u,v)$. Más precisamente, por un resultado de Cohen, el número de entero $(u,v)$ $[-N,N]^2$ que $h_i(u,v)$ tiene una raíz racional se $O(N^{3/2} \log N)$.

Por lo tanto, si todas las $h_i$ tenía grado $\geq 2$, $\mathbb{Z}^2$ sería la unión de un número finito de conjuntos, cada uno de los cuales sólo ha $O(N^{3/2} \log N)$ puntos dentro de una caja de lado de longitud $N$, una contradicción. $\square$.

Por lo tanto, vamos a $h_i$ ha $x$grado $1$ y escribir $h_i(u,v,x) = q(u,v) x - p(u,v)$. Deje $r(u,v)$ ser la función racional $p(u,v)/q(u,v)$.

Considere la posibilidad de la extensión de campo $\mathbb{Q}(u,v)/\mathbb{Q}(a,b)$ donde$a=u^2$$b=v^2$. Este es Galois con grupo de Galois $(\mathbb{Z}/2)^2$. Así que hay tres intermedio subcampos: $\mathbb{Q}(u,b)$, $\mathbb{Q}(a,v)$ y $\mathbb{Q}(a,w)$ donde $w=v/u$. Si $r$ no está en ninguno de estos intermedios campos, entonces el polinomio mínimo de a $r$ $\mathbb{Q}(a,b)$ tiene el grado $4$. Este minimial polinomio se divide $g$, lo $\deg_x g\geq 4$.

Consideremos ahora el caso de que $r(u,v) \in \mathbb{Q}(u,b)$ o, en otras palabras, $r(u,v)$ $s(u,v^2)$ para algunos la función racional $s$. Para cualquier $(u,b)$$\QQ^2$, la cantidad de $r(u, \sqrt{b})$ es una raíz de $g(u^2, b,x)$. Pero $r(u, \sqrt{b}) = s(u,b)$, por lo que es racional, y hemos demostrado que $g(u^2,b,x)$ tiene una raíz racional para cualquier $(u,b) \in \mathbb{Q}^2$.

Del mismo modo, si $r(u,v)$ $\mathbb{Q}(a,v)$ $g(a,v^2,x)$ tiene una raíz racional para cada $(a,v)$ y, si $r(u,v)$ $\mathbb{Q}(a,v/u)$ $g(a,aw^2 x)$ tiene una raíz racional para cualquier $(a,w)$.