La Teoría de los números: la Reordenación $c_1,\dotsc,c_{10}$, de modo que $(2k-1)\mid(a_k-b_k)$

Question

Tengo esta tarea problema que estoy confundido sobre cómo hacerlo:

Dado cualquier distintos $z_1,\dotsc,z_{10}\in\mathbb{Z}$, demuestran que uno puede reordenar estos como $s_5,s_4,\dots,s_1,t_5,\dotsc,t_1$, de modo que $(2k-1)\mid(s_k-t_k)$; por lo tanto $9\mid(s_5-t_5),7\mid(s_4-t_4),$ etc.

He intentado escribir $z_i=q_i(2i-1)+r_i$ y la comparación de los restos de la $s_i$ $t_i$ modulo $2i-1$, pero no he sido capaz de resolver el problema de esta manera.

Answer 1

Deje $A=\{z_1,z_2,\ldots,z_{10}\}.$ Desde que tiene diez enteros en este juego y hay exactamente nueve restos modulo $9,$ el principio del palomar implica que no se $i_0\neq j_0$ tal que $z_{i_0}\equiv z_{j_0}\pmod9.$ Puesto $s_5=z_{i_0}$ $t_5=z_{j_0}.$ Ahora consideremos el conjunto $A\setminus\{s_5,t_5\}.$ Este set contiene exactamente ocho enteros. Entonces, como hay exactamente siete restos modulo $7,$ nuevo por el principio del palomar no existe $i_1\neq j_1$ tal que $z_{i_1}\equiv z_{j_1}\pmod7$ y, por supuesto, $i_1,j_1\neq i_0,j_0.$ Ahora pon $s_4=z_{i_1}$ $t_4=z_{j_1}.$ Continuar en este camino y obtendrás el resultado deseado.

Answer 2

Usted puede utilizar el principio del palomar.

Inicio de la última pareja: $9 \mid s_5 - t_5$. Considerar el resto de los números modulo 9. Ya hay 10 números, al menos dos de ellos (decir el $i$-ésimo y el $j$-th) tendrá el mismo resto modulo 9. Par aquellos (es decir, establecer$s_5 = z_i$$t_5 = z_j$).

... ahora tenemos 8 números (todos los números excepto el $i$-ésimo y el $j$-th), usando el principio del palomar, dos de ellos deben tener el mismo resto modulo 7. Usted puede hacer lo mismo, 5, 3, 1.