La lógica de la ley de los sistemas cerrados de las sentencias

Question

Considerar los habituales conectores lógicos $\wedge, \vee, \supset, \neg$ (es decir, "y", "o", material de la implicación, de la negación) y la "carrera" $/$ define como $p / q := (\neg p) \vee (\neg q)$.

En su libro "Introducción a la Lógica Y a la Metodología de Deductivo de las Ciencias" (ISBN-10: 048628462X) el autor A. Tarski presenta en la página 176 una sección sobre "sistemas Cerrados de las penas", que se ejecuta de la siguiente manera:

Existe una lógica general de la ley que nos permite, en algunos casos, cuando hemos logrado probar varias proposiciones condicionales, inferir, a partir de la forma de estas propuestas, que el correspondiente conversar proposiciones puede ser también considerado como probado.

Supongamos que tenemos un sistema finito de implicaciones a la que vamos a dar la siguiente forma esquemática $p \supset q, p' \supset q', p'' \supset q'', ...$

Si los antecedentes (premisas) de escape de todos los casos posibles, es decir, si es cierto que $p \vee p' \vee p'' \vee ...$, y si al mismo tiempo su consequents (conclusiones) se excluyen mutuamente (incompatibilidad) $q/q' \wedge q/q'' \wedge q'/q'' \wedge ...$, a continuación, el conversar implicaciones implícitas $q \supset p, q' \supset p', q'' \supset p'', ...$

Consideremos como ejemplo el siguiente sistema simple de oraciones: $((p \supset q) \wedge (p' \supset q') \wedge (p'' \supset q'') \wedge (p \vee p' \vee p'') \wedge (q/q') \wedge (q/q'') \wedge (q'/q'')) \supset ((q \supset p) \wedge (q' \supset p') \wedge (q'' \supset p''))$

Mi pregunta es: ¿Cómo puede el general reclamo en Tarski del libro anterior de probarse?

Answer 1

El general de la declaración no puede ser expresado como una fórmula en el sistema, así que si vamos a probar que todo debe ser como una metatheorem, trabajando en el nivel meta:

Deje $n\ge 1$ ser un número natural y deje $p_i$ $q_i$ $1\le i\le n$ ser arbitraria fórmulas. Entonces la fórmula $$ \bigwedge_{1\le i\le n}( p_i \to q_i ) \land \bigvee_{1\le i \le n} p_i \land \bigwedge_{1\le i<j\le n} (q_i \uparrow q_j ) \to \bigwedge_{1\le i\le n}(q_i\to p_i) $$ es un teorema de tales y tales lógica del sistema.

Tenga en cuenta que el indexado conjunciones y disyunciones como $\bigwedge_{1\le i\le n}(p_i\to q_i)$ son no son parte formal de la lengua; el que aparecen en la metatheorem como una manera de describir el real formal de la fórmula que el metatheorem reclamaciones es un teorema.

Para demostrar la metatheorem significa argumentar que cuando construimos una fórmula de acuerdo a la receta en el metatheorem, también podemos encontrar una prueba formal de que la leche de fórmula.

Esto puede hacerse ya sea directamente, mediante la descripción de un procedimiento para la forma de escribir que la prueba formal de una vez $n$ e las $p_i$s y $q_i$s se dan, o semánticamente, con el argumento de que la construcción de la fórmula se evalúa como true en cada valoración, interpretación y, a continuación, apelando a un teorema de completitud de la lógica en cuestión.

En ambos de estos casos, el punto de partida sería una informal argumento de que el principio de las obras:

Asumir que todo en el lado izquierdo; queremos demostrar que $q_i\to p_i$. Así que supongamos $q_i$ es cierto. Puesto que el $q_i$s son todos mutuamente excluyentes, esto significa que $q_j$ es falsa para todos los $j\ne i$. Sin embargo $p_j\to q_j$ es asumido, y por contraposición, tenemos que $p_j$ es falsa para todas las $j\ne i$. Sin embargo, desde $p_1\lor p_2 \lor \cdots \lor p_n$ también se supone, debe ser que $p_i$ es verdadera (es el único que no hemos encontrado a ser falso). Por lo $p_i$, que es lo que queríamos.

Es sencillo pero extremadamente tedioso de esta informal argumento a una rigurosa descripción de una prueba formal de la secuencia para la construcción de la frase, en el estilo de

....
La línea $2612+87n^2+333n+8i$ de la prueba es la fórmula $\neg q_i\to \neg p_i$. Esta es una prueba válida de paso porque de las líneas anteriores $2608+87n^2+333n+8i$$2611+87n^2+333n+8i$, por modus ponens.
...

De hecho, tan tediosa que nadie lo hace, en este nivel de detalle. En lugar de un bien combina una serie de anteriores similares metatheorems para construir cosas paso a paso, o va a la semántica, en lugar.

El informal argumento es casi palabra por palabra válida (aunque todavía informal, porque estamos en la meta aquí) argumento acerca de la verdad de los valores en una determinada interpretación. Con un par estratégico sustituciones, tales como la escritura de "Asumir la $\mathfrak M\vDash \neg q$" en lugar de "Asumir que $q$ es falso", se obtiene una ordinarios de prueba que el construido fórmula es verdadera en cada interpretación. Podemos apelar a la completitud de la lógica a la conclusión de que debe haber una formales de la prueba de la fórmula, aunque nunca vemos que la prueba formal en detalle.

Answer 2

Tarski ejemplo, en la página 176 (página 167 en la 4ª edición, 1994) con tres leyes puede ser generalizado a cualquier finito caso.

En Tarski del ejemplo tenemos :

(i) : $p_1 \lor p_2 \lor p_3$

y :

(ii) : $p_1 \to q_1, p_2 \to q_2, p_3 \to q_3$

y :

(iii) $q_1 \to \lnot q_2, q_1 \to \lnot q_3, q_2 \to \lnot q_3$.

Con estas condiciones, se puede demostrar fácilmente : $q_i \to p_i$, para todos los $i$ :

1) asumir : $q_1$

2) $\lnot q_2$ --- desde el 1) y (iii)

3) $\lnot p_2$ --- de 2) y (ii) por contraposición

4) $\lnot q_3$ --- desde el 1) y (iii)

5) $\lnot p_3$ --- de 4) y (ii) por contraposición

6) $p_1$ --- de (i), 3) y 5) por (repetead) Disyuntiva Silogismo

7) $q_1 \to p_1$ --- desde el 1) y 6) por el Teorema de la Deducción.