Explicar por qué la $\int_0^\infty\frac{\sin{4x}}{x}\prod\limits_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{k}\right) dx\approx\frac{\pi}{2}$

Question

¿Por qué tenemos, para cada $n\in\mathbb N$, $$\int_0^\infty\left(\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{k}\right)\right)\frac{\sin{4x}}{x}dx\approx\frac{\pi}{2}\ ?$$

Answer 1

Sugerencia. Se puede hacer uso de la transformación $$ \begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \frac{x}{k} & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos\left[\left(\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right)x\right] \quad \text{where }S=\{1,-1\}^n \end{align} $$ y la adición de fórmula $$ 2\sin \cos b = \sin(a + b) + \sin(a - b). $$ Por lo tanto, para cada natural positiva entero $n$, la integral

$$ I_n=\int_0^\infty\left(\prod_{k=1}^n \cos\frac{x}{k}\right)\frac{\sin{4x}}{x}\:dx $$

es tal que $$2^nI_n=\sum_{e\S} \int_0^\infty\frac{\sin\left[\left(4+\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right)x\right]}{2x}dx+\sum_{e\S} \int_0^\infty\frac{\sin\left[\left(4-\frac{e_1}1-\cdots-\frac{e_n}n\right)x\right]}{2x}dx. $$ Por la simetría del conjunto, $S$ la suma de dos coinciden por lo tanto $$ 2^nI_n=\sum_{e\S} \int_0^\infty\frac{\sin\left[\left(4+\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right)x\right]}{x}dx=\sum_{e\S} \frac\pi2\cdot \mathrm{sgn}\left(4+\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right)$$ donde hemos utilizado que, para cada $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha \ne0$, $$ \int_0^\infty \frac{\sin (\alpha x)}x\:dx=\frac \pi2 \cdot \text{sgn}(\alpha). $$ Si $n\leq30$, $$\left|\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right|<4$$ para cada $(e_1,\ldots,e_n)$ $S$ por lo tanto, todos los signos se $+1$ y

$$ I_n=\frac \pi2. $$

Si $n\ge31$, entonces solamente se obtiene la semi-explícito fórmula

$$ I_n=\frac\pi2\cdot\frac{1}{2^n}\sum_{e\S}\mathrm{sgn}\left(4+\frac{e_1}1+\cdots+\frac{e_n}n\right) $$

que sin embargo es suficiente para demostrar que $$0<I_n<\frac\pi2.$$