Evaluación de $\int{ \frac{\arctan\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}+x}}} \,dx$

Question

¿Cómo integrar? $$\int{ \frac{\arctan\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}+x}}}\, dx$$

No tengo ni idea de cómo hacerlo. Trató de obtener alguna información de wiki, pero es demasiado difícil :|

Answer 1

Poner $n=\sec\theta$ da $$I=\int \frac{\theta \sec\theta \tan\theta}{\sec\theta\sqrt{\cos \theta+1}}\ d\theta=\int\frac{\theta\sin\frac{\theta}{2}}{\sqrt{\cos^2\frac{\theta}{2}+\frac{1}{2}}}\ d\theta$$ Sustituyendo $\cos\theta/2$ por $x$ da $$I=-2\int\frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$$ donde $a^2=1/2$ . Esto no parece tener ninguna forma mejor, al menos como integral indefinida.

Answer 2

Consideremos la integral $$\int\! \frac{\arccos x}{x\sqrt{x+1}} \, \mathrm{d}x,$$

que fue derivado por Mike. Utilizando la propiedad $\arccos x = \frac{\pi}{2}-\arcsin x$ tenemos

$$=\frac{\pi}{2}\int\! \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x+1}}-\int\! \frac{\arcsin x}{x\sqrt{x+1}} \, \mathrm{d}x.$$

La integral de la izquierda se evalúa trivialmente, por lo que consideraremos la integral de la derecha. Expresamos $1/\sqrt{x+1}$ en términos de su serie de MacLaurin, válida para $|x|<1,$

$$\int \! \frac{\arcsin x}{x} \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} x^k \, \mathrm{d}x$$

$$=\sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k}\int\! x^{k-1}\arcsin x \, \mathrm{d}x.$$

Entonces, considerando la integral

$$\int \! x^{k-1}\arcsin x\, \mathrm{d}x,$$

y una aplicación de la integración por partes, encontramos que

$$\int \! x^{k-1}\arcsin x\, \mathrm{d}x = \frac{x^k}{k}\arcsin x - \frac{1}{k}\int \! \frac{x^k \, \mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}. $$

Según Mathematica, la integral restante puede expresarse en términos de la función hipergeométrica. Este procedimiento puede o no proporcionar una evaluación para $|x|<1$ .

Answer 3

Mathematica devuelve una solución de forma cerrada para $\displaystyle\int\frac{\cos^{-1}x\,dx}{x\sqrt{x+1}}$ pero tiene varias decenas de líneas. No estoy seguro de cómo limpiarlo todavía.