Es posible que la fórmula de la $n^{th}$número primo es un polinomio en n?

Question

Sé que el patrón no ha sido encontrado todavía. Y los números primos son extraños, por lo que la fórmula de ser un polinomio sería demasiado sencillo para ser verdad. Hay algunas pruebas ha dado de que la expresión de la $n^{th}$ primer número no puede ser un polinomio en n?

También encontré esta cosa en el internet que $\frac{sin^2\frac{\pi(j-1)!^2}{j}}{sin^2\frac{\pi}{j}}$ es igual a uno si y sólo si j es primo. Una cosa que tengo a partir de la simplificación de esto es que $\frac{(j-1)!^4-1}{j}$ es un número entero si y sólo si j es primo. Por lo tanto, si hay alguna ecuación satisfecha sólo por números enteros, entonces también será satisfecho por $\frac{(j-1)!^4-1}{j}$ y, por tanto, también será satisfecho por todos los números primos. Hay algunas ecuaciones que involucran funciones continuas satisfecha sólo con números enteros? No podía encontrar ninguna ecuación, como que. Debe ser en términos de alguna norma de funciones continuas y no deberían incluir funciones discontinuas como el mayor entero de la función y el entero más pequeño de la función. Y no debería ser así n%1 =0 sólo si n es un número entero. Eso no ayudará. Y también no se nada de $sin(n\pi)=0$ sólo si n es un número entero.

Answer 1

No, No puede ser cualquier polinomio en $n$ cuyo valor es siempre el $n$th prime.

Claramente no es de primer grado polinomio con esta propiedad. Y si el polinomio tiene grado mayor que $1$, luego de un gran $n$ va a crecer demasiado rápido-un polinomio se declara muy pocos números primos, contradiciendo los hechos conocidos acerca de cómo comunes de los números primos son, en particular, el teorema de los números primos.

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Por cierto, no es necesario subir a la 4ª potencia en su primalidad de prueba; Wilson, el teorema dice que el $(n-1)!+1$ es divisible por $n$ exactamente si $n$ es primo.

Answer 2

En realidad no hay ninguna que no sea constante polinomio cuyos valores en los enteros positivos son todos números primos.

En primer lugar, tenga en cuenta que cualquier polinomio cuyos valores en los enteros positivos son primos debe tener racional de los coeficientes (ver, por ejemplo, de valor Entero polinomios).

Supongamos $P$ es un polinomio, y deje $P(x) = p$ donde $p$ es coprime a los denominadores de todos los coeficientes de $x$. Entonces a partir de la $(x+p)^k \equiv x^k \mod p$ para todos los números enteros no negativos $k$, obtenemos que $P(x+p) \equiv P(x) \equiv 0\mod p$, lo $P(x+p)$ no puede ser primo.

Answer 3

Mientras Henning Makholm la respuesta es fantástico, me siento un poco incómodo para el uso de alta tecnología como el Teorema de los números Primos.

De hecho, la razón detrás del hecho de que no polinomio se puede interpolar la secuencia de los números primos es que hay demasiado de los números primos. Para ser precisos, sabemos que los números primos no son una progresión aritmética, por lo que si un polinomio $q$ fueron para interpolar ellos tendrían que tienen un grado $\geq2$. Esto es clave porque sabemos que$$\sum_p\frac{1}{p}=+\infty,$$ mientras que si $\deg q\geq2$, entonces debemos tener $$\sum_n\frac{1}{q(n)}\leq C\sum_n\frac{1}{n^2}<+\infty$$ para algunas constantes $C$.

Answer 4

No me puedo resistir la siguiente nuke: supongamos $f(x)$ es un polinomio, con líderes plazo $a_kx^k$, de tal manera que el $n$th prime es $f(n)$. Claramente $f$ no puede ser lineal; y ahora, no es difícil ver que $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=\infty$, lo que significa que tenemos:

Para todos los $N$, hay algunos $n$ tal que para todos los $m>n$ tenemos $f(m+1)-f(m)>N$.

Pero esto es conocido por ser falsa.

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EDIT: otra nuke. También es cierto que $f''$ va al infinito (técnicamente a la conclusión de que esto que tenemos que mostrar que $f$ debe tener grado $\ge 3$, pero que no es difícil). Así que vamos a $x$ ser tal que para todos los $y>x$, $f''(y)>0$ y $f'(y)>0$; luego están los no $z>y, a>0$ tal que $$f(z+a)-f(z)=f(z+2a)-f(z+a);$$ that is, there are only finitely many arithmetic sequences of length $\ge 3$ contained in the primes. But this contradicts the Green-Tao theorem: for any $n$, an arithmetic progression of length $n+2$ witnesses the fact that there are at least $n$-many length $3$ progresiones aritméticas de los números primos.

Yo no ver de inmediato un nuke a través de la tercera derivada de $f$.