Muestra que tres números complejos $z_1, z_2, z_3$ son colineales si $ \operatorname {Im}( \overline {z_1}z_2+ \overline {z_2}z_3+ \overline {z_3}z_1) = 0$

Question

Necesito mostrar que $ \operatorname {Im}( \overline {z_1}z_2+ \overline {z_2}z_3+ \overline {z_3}z_1) = 0 \iff z_1,z_2,$ y $z_3$ son colineales.

Sé que $ \operatorname {Im}( \overline {z_1}z_2+ \overline {z_2}z_3+ \overline {z_3}z_1) = 0$ implica que $ \overline {z_1}z_2+ \overline {z_2}z_3+ \overline {z_3}z_1 \in \mathbb {R}$ pero no estoy seguro de cómo argumentar en cualquier dirección. Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

El concepto básico para esta respuesta es el área de un triángulo. El área de un triángulo que se hace sobre vectores $z$ y $w$ est $A=\dfrac12{\bf Im}(\bar{z}w)$ . para tres puntos en el plano complejo, hacemos un triángulo sobre ellos con lados $z_1-z_2$ , $z_2-z_3$ y $z_3-z_1$ tenemos \begin{eqnarray} \dfrac12{\bf Im}\overline{(z_1-z_2)}(z_2-z_3)&=&0\\ {\bf Im}\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_3-\overline{z_2}z_2-\overline{z_1}z_3&=&0\\ {\bf Im}\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_3+{\bf Im}\overline{z_3}z_1&=&{\bf Im}\overline{z_2}z_2+\overline{z_1}z_3+{\bf Im}\overline{z_3}z_1\\ {\bf Im}\overline{z_1}z_2+\overline{z_2}z_3+\overline{z_3}z_1&=&0 \end{eqnarray}

$z_1$ , $z_2$ y $z_3$ son colineales, si y sólo si, el área del triángulo hecho en ellos es cero.

Answer 2

Sabemos que $z_1,z_2,z_3$ son colineales si existe algún $t\in\mathbb{R}$ tal que $$t(z_1-z_3)=z_1-z_2.$$ El problema se vuelve trivial si $z_1=z_3$ por lo que podemos suponer que no es el caso, y entonces es legal escribir $$ t=\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}. $$ Multiplicando ambos lados de esta ecuación por $|z_1-z_3|^2=(\overline{z_1-z_3})(z_1-z_3)$ obtenemos \begin{align} t|z_1-z_3|^2=(\overline{z_1-z_3})(z_1-z_2)=&|z_1|^2-\bar z_1z_2 -\bar z_3z_1+\bar z_3z_2\\ =&|z_1|^2-\bar z_1z_2 -\bar z_3z_1\underbrace{-\bar z_2z_3+\bar z_2z_3} _{=0}+\bar z_3z_2.\\ \end{align} Expresando esto como $$ t|z_1-z_3|^2-|z_1|^2-(\overline{\bar z_3z_2}+\bar z_3z_2)=-(\bar z_1z_2 +\bar z_2z_3+\bar z_3z_1) $$ y observando que el LHS es un número real se llega a la conclusión deseada.

Answer 3

Aquí hay otro enfoque que se basa en la idea de que es fácil detectar si tres números complejos se encuentran en una línea que pasa por el origen, e intentamos reducir el problema original a este más simple.

Para ello, podríamos esperar que la traducción de nuestros números complejos (en este caso, restando $z_1$ de cada uno) no afecta a que la función $f(z_1, z_2, z_3) = \overline{z_1}z_2 + \overline{z_2}{z_3} + \overline{z_3}{z_1}$ toma un valor real o no.

Y efectivamente, veremos que

$$\operatorname{Im}\Big(f(z_1, z_2, z_3)\Big) = \operatorname{Im}\Big(f(0, z_2 - z_1, z_3 - z_1)\Big).$$

Observe que

\begin{align*} \operatorname{Im}\Big(f(0, z_2 - z_1, z_3 - z_1)\Big) &= \operatorname{Im}\Big(\overline{z_2 - z_1}(z_3 - z_1)\Big) \\[7pt] &= \operatorname{Im}\Big(\overline{z_2}z_3 - \overline{z_1}z_3 - \overline{z_2}z_1 + \overline{z_1}{z_1}\Big) \\[7pt] &= \operatorname{Im}\big(\overline{z_2}z_3) - \operatorname{Im}\big(\overline{z_1}z_3\big) - \operatorname{Im}\big(\overline{z_2}z_1\big) + \underbrace{\operatorname{Im}\big(|z_1|^2\big)}_{=0} \end{align*}

donde $\overline{z_1}{z_3} = \overline{z_1\overline{z_3}}$ por lo que los dos tienen partes imaginarias opuestas; es decir, $\operatorname{Im}\big(z_1\overline{z_3}) = - \operatorname{Im}(\overline{z_1}z_3)$ . Ahora retomando donde lo dejamos,

\begin{align*} \operatorname{Im}\Big(f(0, z_2 - z_1, z_3 - z_1)\Big) &= \operatorname{Im}\big(\overline{z_2}z_3) - \operatorname{Im}\big(\overline{z_1}z_3\big) - \operatorname{Im}\big(\overline{z_2}z_3\big) \\[7pt] &= \operatorname{Im}\big(\overline{z_2}z_3) + \operatorname{Im}\big(\overline{z_3}z_1\big) + \operatorname{Im}\big(\overline{z_1}z_2\big)\\ &= \operatorname{Im}\Big(f(z_1, z_2, z_3)\Big) \end{align*}

Ahora sólo tenemos que demostrar que $z_1, z_2, z_3$ son colineales si y sólo si $f(0, z_2 - z_1, z_3 - z_1) \in \Bbb R$ .

Dejar $w_2 = z_2 - z_1$ y $w_3 = z_3 - z_1$ esto equivale a demostrar que $0, w_1, w_2$ son colineales si y sólo si $f(0, w_2, w_3) \in \Bbb R$ .

Pero como $f(0, w_2, w_3) = \overline{w_2}w_3$ Esto es sólo el hecho bien conocido de que $\overline{w_2}w_3 \in \Bbb R$ si y sólo si $w_3 = c w_2$ para algún escalar real $c$ .