La simplificación de la fracción con factoriales: $\frac{(3(n+1))!}{(3n)!}$

Question

Yo estaba tratando de resolver el límite:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(5n)^{3n}}}$$

Mediante el uso de la raíz del criterio de límites (que es válido en este caso, ya que los $b_n$ aumenta monótonamente):

$$L= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$

Ahora me doy cuenta de que el uso de la libra Esterlina fórmula haría todo más fácil, pero mi primera aproximación fue simplificando el factorial después de aplicar el criterio que he mencionado antes. Así que, después de un par de intentos fallidos lo he buscado en Mathematica y dijo que $\frac{(3(n+1))!}{(3n)!}$ (que es una de las fracciones que tienen para simplificar) es igual a $3(n+1)(3n+1)(3n+2)$. Ya no puedo llegar yo quiero saber cómo lo haría.

Sólo así puede corregir de mí, de mi razonamiento fue:

$$\frac{(3(n+1))!}{(3n)!} = \frac{3\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (...) \cdot 3 \cdot (n+1)}{3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (...) \cdot 3 \cdot n } = $$ $$= \frac{3^n(n+1)!}{3^{n}n!} = \frac{(n+1)!}{n!} = n+1$$

Que al parecer no es correcto. Debo haber fallado en algo muy tonto. Gracias de antemano!

Answer 1

Por Stirling de la desigualdad, la respuesta es claramente $\left(\frac{3}{5e}\right)^3$. Para demostrarlo, se puede observar que mediante la creación de $$ a_n = \frac{(3n)!}{(5n)^{3n}} $$ usted tiene: $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(5n)^{3n}}{(5n+5)^{3n+3}} = \frac{\frac{3n+3}{5n+5}\cdot\frac{3n+2}{5n+5}\cdot\frac{3n+1}{5n+5}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}}\to\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^3}{e^3}$$ como $n\to +\infty$.

Answer 2

Pensé que podría ser útil para presentar un enfoque que se basa en la primaria sólo herramientas. Para ello, vamos a proceder.

En primer lugar, escribimos

$$\begin{align} \frac{1}{n}\log((3n!))&=\frac1n\sum_{k=1}^{3n}\log(k)\\\\ &=\left(\frac1n\sum_{k=1}^{3n}\log(k/n)\right)+3\log(n) \tag 1 \end{align}$$

Ahora, tenga en cuenta que el término entre paréntesis en el lado derecho de la $(1)$ es la suma de Riemann para $\int_0^3 \log(x)\,dx=3\log(3)-3$.

El uso de $(1)$, tenemos

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(5n)^{3n}}}&=\lim_{n\to \infty}e^{\frac1n \log((3n)!)-3\log(5n)}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}e^{\left(\frac1n\sum_{k=1}^{3n}\log(k/n)\right)+3\log(n)-3\log(5n)}\\\\ &=\lim_{n\to \infty}e^{\left(\frac1n\sum_{k=1}^{3n}\log(k/n)\right)-3\log(5)}\\\\ &= e^{3\log(3)-3-3\log(5)}\\\\ &=\left(\frac{3}{5e}\right)^3 \end{align}$$

como se esperaba!

Herramientas utilizadas: las sumas de Riemann y la continuidad de la función exponencial.

Answer 3

$$ (3(n+1))! \neq 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 3 \cdot (n+1) $$ To make it clear what the problem is, let's write the right-hand side with brackets: $$ (3 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 4) \cdots (3 \cdot (n+1)) $$ That's just multiplying all the positive multiples of 3 less than $ 3(n+1) $ together; the factorial is defined as multiplying together all positive integers less than $ 3(n+1) $. Para la correcta expansiones \begin{align*} (3(n+1))! &= 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots (3n-2) \cdot (3n-1) \cdot 3n \cdot (3n+1) \cdot (3n+2) \cdot 3(n+1) \\ (3n)! &= 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots (3n-2) \cdot (3n-1) \cdot 3n \end{align*} que claramente tienen el cociente Mathematica le dio a usted.

Answer 4

Mi favorito primaria de la desigualdad para $n!$: $ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} $ $(n/e)^n < n! < (n/e)^{n+1} $.

Tomar la n-ésima raíces, $n/e < (n!)^{1/n} < (n/e)^{1+1/n} $.

Por lo tanto $\sqrt[n]{\lfrac{(3n)!}{(5n)^{3n}}} =\lfrac{((3n)!)^{1/n}}{(5n)^{3}} >\lfrac{((3n/e)^{3n})^{1/n}}{(5n)^{3}} =\lfrac{(3n/e)^{3}}{(5n)^{3}} =\lfrac{27n^3}{125e^3n^{3}} =\lfrac{27}{125e^3} $.

Argumentando la otra manera, $\sqrt[n]{\lfrac{(3n)!}{(5n)^{3n}}} =\lfrac{((3n)!)^{1/n}}{(5n)^{3}} <\lfrac{((3n/e)^{3n+1})^{1/n}}{(5n)^{3}} =\lfrac{(3n/e)^{3}(3n/e)^{1/n}}{(5n)^{3}} =\lfrac{27n^3(3n/e)^{1/n}}{125e^3n^{3}} =\lfrac{27}{125e^3}(3n/e)^{1/n} $. Desde entonces, como $n \to \infty$, $n^{1/n} \a 1 $ y $a^{1/n} \a 1 $ para cualquier $a > 0$, $(3n/e)^{1/n} \a 1 $ por lo que el límite es $\lfrac{27}{125e^3} $.

---

Una más general resultado:

$\sqrt[n]{\lfrac{(an)!}{(bn)^{an}}} =\lfrac {(()!)^{1/n}}{(bn)^a} \gt \lfrac {((/e)^{un})^{1/n}}{(bn)^a} =\lfrac{(an/e)^a}{(bn)^a} =\lfrac{a^n^a}{b^ae^a} =\lfrac{a^a}{b^ae^a} =\left(\lfrac{a}{se}\right)^un $.

La otra manera va exactamente como el anterior, así que $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\lfrac{(an)!}{(bn)^{an}}} =\left(\lfrac{a}{se}\right)^un $.