Calcular la siguiente integral: $I = \int_1^\infty \log^2 \left(1-\frac 1 x\right) \, dx$

Question

Calcular $$I = \int_1^\infty \log^2 \left(1-\frac 1 x\right) \, dx$$ He hecho la sustitución: $$t=\frac 1 x$$ de la siguiente manera: $$I=\int_0^1 \frac{\log^2(1-t)}{t^2} \, dt$$ Mi siguiente paso sería calcular la derivada de la siguiente integral con el parámetro $y$, w.r.t a $y$: $$F(y)=\int_0^1 \frac{\log^2(y-t)}{t^2} \, dt$$ O algo como esto. Creo que sería una buena solución para utilizar este tipo de enfoque. Pero estoy pegado cuando el cálculo de la derivada.

Answer 1

Una vez que usted consigue $$ I = \int_{0}^{1}\frac{\log^2(1-t)}{t^2}\,dt=\int_{0}^{1}\frac{\log^2(t)}{(1-t)^2}\,dt \tag{1}$$ es suficiente recordar que $$ \frac{1}{(1-t)^2}=\sum_{n\geq 0}(n+1) t^n,\qquad \int_{0}^{1}t^n\log^2(t)\,dt = \frac{2}{(n+1)^3}\tag{2} $$ tener: $$ I = \sum_{n\geq 0}\frac{2}{(n+1)^2} = \color{red}{\frac{\pi^2}{3}}.\tag{3}$$

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en la integración por partes y el reconocimiento del valor de la integral, $\int_0^1 \frac{\log(1-x)}{x}\,dx=\text{Li}_2(1)=\frac{\pi^2}{6}$. Para ello, vamos a proceder.

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Deje $I$ ser dada por

$$I=\int_1^\infty \log^2\left(1-\frac1x\right)\,dx=\int_0^1\frac{\log^2(1-x)}{x^2}\,dx$$

La integración por partes con $u=\log^2(1-x)$ $v=-1/x$ revela

$$\begin{align} I&=\lim_{\epsilon\to 0}\left(\left.\left(-\frac{\log^2(1-x)}{x}\right)\right|_{0}^{1-\epsilon}-2\int_0^{1-\epsilon}\frac{\log(1-x)}{x(1-x)}\,dx\right)\\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{-\log^2(\epsilon)}{1-\epsilon}-2\int_0^{1-\epsilon}\frac{\log(1-x)}{1-x} -2\int_0^1\frac{\log(1-x)}{x}\,dx\right)\\\\ &=\lim_{\epsilon\to 0}\left(-\frac{\log^2(\epsilon)}{1-\epsilon}+2\int_0^{1-\epsilon}\frac12\frac{d\log^2(1-x)}{dx}\,dx -2\int_0^1\frac{\log(1-x)}{x}\,dx\right)\\\\ &=-2\int_0^1\frac{\log(1-x)}{x}\,dx\\\\ &=\frac{\pi^2}{3} \end{align}$$

como iba a ser mostrado!