Es la siguiente (decimal) número irracional?
0.10100100010000100000100000010000000100... etc.
Mi intuición me dice que es irracional. Mi informales "prueba" es, simplemente, que no contiene la repetición de una serie de dígitos.
Para irracionalidad, es tanto una condición necesaria y suficiente para que los dígitos nunca volver a una secuencia de repetición?
Es allí una manera más formal, la prueba de este caso?
Una justificación formal si su informales prueba puede ser alcanzado por señalar que en el proceso de la división larga, el hecho de que usted tiene un número finito de posibles restos de garantías que eventualmente el resto se van a repetir. Esto es, para cualquier número racional en su expansión decimal se convierte en periódico.
Sí, un número es racional si y sólo si su representación decimal es finalmente periódico (incluyendo la posibilidad de un período de $\overline 0$)
Una prueba formal de su número específico requiere de una definición formal. Supongo que su número es $$\sum_{n=1}^\infty 10^{-\frac{n^2+n}2}.$$ Cualquier representación decimal que tiene infinitamente distinto de cero dígitos (que es el caso de su número) y tiene los bloques de ceros de tamaño arbitrario (que es también el caso de su número) no puede ser eventualmente periódico: Algunos fines del período debe estar completamente en una lo suficientemente grande bloque de ceros, por tanto, el período debe ser todos los ceros, contradiciendo el hecho de que algunos no-dígito cero se produce más a la derecha.
Un número con una expresión similar, incluso puede ser demostrado ser no sólo irracional, pero en realidad trascendente: $$\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!}.$$
Lo que tienes es un trancedental número; un número para el que no hay ninguna variable de la ecuación polinómica con coeficientes racionales que tiene este número como una raíz. Trancedental números son siempre irracionales (pero no todos los números irracionales son trancedental). Por lo tanto, sí, su número es irracional.
La prueba está en la construcción; como la conocida trancedental números de $\pi$$e$, su número es el límite asintótico de la suma de una serie infinita; en este caso, la suma de una reducción de la fracción:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{10^{\dfrac{n(n+1)}{2}}}$$
Esto es similar a la construcción de la Champernowne constante que está demostrado transcedental. La suma es construido de tal manera que no hay 2 términos cada vez modificar el valor de una cifra decimal del mismo orden de magnitud, muy parecida a la de $C_{10}$, por lo que el número aumenta constantemente, pero nunca pueden llegar a un racional suma, a diferencia de la infinita suma de $\frac{1}{2^n}$.
El número que te dio cuando la pregunta es, de hecho, un número irracional porque se extiende sin repetir ni fin. He utilizado para aprender eso. Se mantiene la adición de ceros y al lado de el. Esto nunca pasa en una secuencia de repetición, ya que impide la incorporación de los ceros. No sé si hay más prueba formal de este tipo de casos, pero recuerde que un número irracional puede nunca ser escrito como una fracción.
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