Problema: la Suma de los valores absolutos de las raíces del polinomio

Question

Puede usted por favor darme algunas pistas en cuanto a cómo podría acercarse a este problema? Gracias!

Dado el polinomio $f = 2X^3 - aX^2 - aX + 2, a \mathbb \in R$ y las raíces de la $x_1, x_2$ $x_3,$ $a$ tal que $|x_1| + |x_2| + |x_3| = 3.$

Edit: sabemos $-1$ es una de las raíces de dicho polinomio, independientemente del valor de $a$. Así que, en esencia, lo que tenemos que demostrar es que el $|x_2| + |x_3| = 2.$

Answer 1

Primero tenemos la siguiente factorización,

$ 2x^3 - ax^2 - ax + 2 = (x+1)(2x^2 - (2+a)x + 2).$

Supongamos $x_1 = -1$, $|x_2| + |x_3| = 2$ y son soluciones de la ecuación cuadrática $2x^2 - (2+a)x + 2 = 0$. Por lo tanto,

$ x_2 + x_3 = 1 + a/2 $ y

$ x_2 x_3 = 1$.

Mediante la observación de la segunda ecuación, $x_2$ $x_3$ son ambos positivos o ambos negativos, por lo que tenemos

$1 + a/2 = x_2 + x_3 = 2$ o $-2$.

Por lo tanto, $a = 2$ o $-6$.

Answer 2

Puede encontrar la $a$ por inspección: Poner $a=2$ y las raíces están dadas por $$x^3 - x^2 - x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+1) = 0.$$

Answer 3

La forma de resolver esto es en realidad bastante simple, al parecer:

$$|x_2| + |x_3| =2 \implies -2 \le x_1 + x_1 \le 2$$