Para modular celosías hay un ejemplo canónico de los "más pequeños" no modular de celosía, $\mathbf N_5$. Hay un ejemplo similar de 3 categorías, que no son equivalentes a los estrictos 3-categoría? He leído tantas veces que existen 3 categorías, pero nunca he visto un ejemplo claro de uno.
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user45874
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El homotopy $3$-groupoid de $S^2$ no es equivalente a un estricto $3$-categoría. Mientras que puede o no puede ser la estrictamente menor débil 3-categoría: con esta propiedad, este parece ser el estándar de ejemplo.
Este fue, que yo sepa, probada por primera vez por Clemens Berger. Para la referencia, véase Carlos T. libro de Simpson "Homotopy teoría de categorías superiores", Corolario I. 4.3.3. y en la sección I. 4.4. en este proyecto.
Simplemente conectado 3-groupoids $X$ tienen dos homotopy grupos $\pi_2(X), \pi_3(X)$, y se clasifican por este par de homotopy grupos junto con un $k$-invariante, es decir, un cohomology de clase en $H^4(B^2 \pi_2, \pi_3)$. Resulta que $X$ es strictifiable iff la $k$-invariante se desvanece iff $X$ es sólo el producto de $B^2 \pi_2 \times B^3 \pi_3$.
El caso de los fundamentales de la $3$-groupoid de $S^2$ corresponde a $\pi_2 = \pi_3 = \mathbb{Z}$ $k$invariante en el elemento de
$$H^4(B^2 \pi_2, \pi_3) \cong H^4(\mathbb{CP}^{\infty}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$$
que como cohomology de operación $H^2(-, \mathbb{Z}) \to H^4(-, \mathbb{Z})$ es sólo el de la copa de la plaza. Un "pequeño" ejemplo es tomar $\pi_2 = \pi_3 = \mathbb{Z}_2$ $k$- invariante de la copa de la plaza de $H^2(-, \mathbb{Z}_2) \to H^4(-, \mathbb{Z}_2)$.
