Sylow 2-subgrupos del grupo $\mathrm{PSL}(2,q)$

Question

¿Cuál es el número de Sylow 2-subgrupos del grupo $\mathrm{PSL}(2,q)$?

Answer 1

Al $q$ es una potencia de $2,$ tenemos ${\rm PSL}(2,q) = {\rm SL}(2,q)$ y un Sylow $2$-normalizador es un Borel subgrupo de orden $q(q-1).$ por lo tanto, hay $q+1$ Sylow $2$-subgrupos ${\rm SL}(2,q)$ orden $(q-1)q(q+1)$. Al $q$ es impar, el orden de ${\rm PSL}(2,q)$ $\frac{q(q-1)(q+1)}{2}.$ Un Sylow $2$-subgrupo de ${\rm SL}(2,q)$ (cuaterniones o) generalizado de cuaterniones y un Sylow $2$-subgrupo de ${\rm PSL}(2,q)$ es un Klein $4$-grupo o un diedro $2$-grupo con $8$ o más de los elementos. En todos estos casos, un Sylow $2$-subgrupo de ${\rm SL}(2,q)$ contiene su centralizador, y algunos de primaria grupo de teoría nos permite concluir que el mismo es cierto en ${\rm PSL}(2,q).$ El exterior automorphism grupo de un diedro $2$-grupo con $8$ o más de los elementos es un $2$-grupo. Por lo tanto, un Sylow $2$-subgrupo de ${\rm PSL}(2,q)$ es auto-normalización de al $q \equiv \pm 1$ (mod 8), y en ese caso el número de Sylow $2$-subgrupos de ${\rm PSL}(2,q)$ $q(q^{2}-1)_{2^{\prime}}$ donde $n_{2^{\prime}}$ denota el mayor positivo impar divisor de los enteros positivos $n.$ Al $q \equiv \pm 3$ (mod 8), a continuación, un Sylow $2$-normalizador de la ${\rm PSL}(2,q)$ debe tener un orden $12$ ( un Sylow $2$-subgrupo es un auto-centralización de Klein $4$-grupo, pero no debe ser un elemento de orden $3$ en su normalizador por Burnside de transferencia del teorema). En este caso, el número de Sylow $2$-subgrupos de ${\rm PSL}(2,q)$ $q(\frac{q^{2}-1}{24})$