No split complejo de cadena que es de cadena homotopy equivalente a su homología de secuencia

Question

Este es el ejercicio 1.4.4 de Weibel. Considere la posibilidad de la homología $H_*(C)$ de la cadena compleja $C$ como un complejo de cadena con cero diferenciales. Es fácil demostrar que si C es dividir, entonces existe una cadena de homotopy equivalencia entre el$C$$H_*(C)$. Pero, ¿cómo dar un ejemplo en el que el recíproco es falso?

Creo que en el contraejemplo debemos tener la $H_n(C)$ es un sumando directo de $C_n$, debido a cero las diferencias en el $H_*(C)$. Pensé en algo como $$0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\rightarrow\mathbb{Z}/2\rightarrow 0,$$ donde el primer no-trivial de flecha mapas de $1$$(2,0)$, y el segundo,$(1,0)$$1$$(0,1)$%#%. Sin embargo, no funciona.

Answer 1

Este problema en Weibel en realidad parece ser un error. Si $C$ $H_*(C)$ son homotopy equivalente, $C$ se divide. Yo estaba atrapado en la misma cosa por un tiempo, pero se ha solucionado pidiendo a esta pregunta. Ver la pregunta en sí misma una prueba, y la aceptación de la respuesta para un enlace a Weibel del sitio web donde el error está en una fe de erratas.