Cardinalidad de una base de Hamel de $\ell_1(\mathbb{R})$

Question

¿Cuál es la cardinalidad de una base Hamel de $\ell_1(\mathbb R)$ ? ¿Es deducible en ZFC que es aparentemente continuo? ¿Se deduce de esto que cada espacio de Banach de densidad $\leqslant 2^{\aleph_0}$ tiene una base de Hamel de cardinalidad continua (vale, sé que no puede ser más pequeña para un espacio de Banach inf.-dim.)?

Answer 1

Fue demostrado por G.W. Mackey, en Sobre espacios lineales de dimensión infinita , Trans. Amer. Math. Soc.  57 (1945), 155-207, ver Teorema I-1, p.158, que un espacio de Banach de dimensión infinita tiene dimensión de Hamel al menos $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ . También se puede encontrar una breve prueba en H. Elton Lacey, La dimensión de Hamel de cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es $c$ , Amer. Math. Mon.  80 (1973), 298.

Además, un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de cardinalidad $\kappa \gt \mathfrak{c}$ tiene dimensión $\kappa$ por un teorema de Löwig, Sobre la dimensión de los espacios lineales , Studia Math.  5 (1934), pp. 18-23.

Añadido: Combinando estos dos hechos obtenemos la cruda afirmación (dada por Halbeisen y Hungerbühler en el papel Jonas enlazó en un comentario): "La dimensión de Hamel de un espacio de Banach de dimensión infinita es igual a su cardinalidad".

Finalmente, $\ell^1(\mathbb{R})$ se incrusta isométricamente en $\ell^\infty(\mathbb{N})$ por lo que su dimensión es como máximo la cardinalidad de $\ell^\infty(\mathbb{N})$ que es $\mathfrak{c} = \#(\mathbb{R}^{\aleph_0})$ .

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Añadido:

Para responder a su pregunta de si un espacio de Banach $X$ de la densidad $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ debe tener dimensión $\mathfrak{c}$ y si esto es una consecuencia de conocer la dimensión de $\ell^1(\mathbb{R})$ Sí.

Esto se debe a que basta con elegir un subconjunto denso $S$ de cardinalidad $\mathfrak{c}$ en la esfera unitaria de $X$ entonces elija una biyección $\mathbb{R} \to S$ y enviar la base estándar $(e_t)_{t \in \mathbb{R}}$ de $\ell^1(\mathbb{R})$ a $S$ . Este mapa se extiende a un mapa $\ell^1(\mathbb{R}) \to X$ que es onto por el teorema de Banach-Schauder (normalmente demostrado como parte del teorema de los mapas abiertos: si un mapa lineal continuo envía la bola unitaria de $Y$ densamente en la bola unitaria de $X$ entonces es sobre).

Answer 2

Teorema. Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach de dimensión infinita. Entonces $\,\mathrm{dim}\,X\ge 2^{\aleph_0}$ .

Esbozo de prueba. Basado en la obra de M.G. McKay prueba. Dejemos que $\{w_n : n\in\mathbb N\}\subset X$ sea un conjunto linealmente independiente.

Paso A. Utilizando Hahn-Banach, construiremos otro conjunto linealmente independiente $\{v_n : n\in\mathbb N\}\subset X$ y un conjunto de funcionales lineales $\{v^*_n:n\in\mathbb N\}\subset X^*$ , de tal manera que $$ \mathrm{span}\{v_1,\ldots,v_n\}=\mathrm{span}\{w_1,\ldots,w_n\}, \quad \text{for all $ n\n\nmathbb N $,} $$ $\|v_i^*\|=1$ para todos $i\in\mathbb N$ y $$ v_i^*(v_j)=\delta_{ij}, \quad \text{for all $ i,jen \mathbb N $.} $$ Esto se hace de forma inductiva. Definir $v_1=w_1/\|w_1\|$ y $v_1^*(v_1)=1$ , y extender, usando Hahn-Banach a $X$ para que $\|v_1^*\|=1$ . Supongamos que $v_1,\ldots,v_k$ y $v_1^*,\ldots,v_1^*$ se han definido de manera que $$ \mathrm{span}\{v_1,\ldots,v_k\}=\mathrm{span}\{w_1,\ldots,w_k\},\quad \|v_i^*\|=1\,\,\text{and}\,\,\,v_i^*(v_j)=\delta_{ij}, \quad \text{for all $ \N - i,j=1,\ldots,k. $} $$ Entonces dejemos que $$ v_{k+1}=w_{k+1}-\sum_{j=1}^k v_j^*(w_{k+1})v_j. $$ Claramente, $\,v_{k+1}\in \bigcap_{j=1}^k\mathrm{ker}\,v_j^*$ . A continuación, definimos definimos la función $v_{k+1}^*$ , por lo que $v_{k+1}^*(v_j)=\delta_{k+1,j}$ , para $j=1,\ldots,k+1$ y extenderlo vía Hahn-Banach a $X$ y para mantener su unidad normativa reescalamos convenientemente $v_{k+1}$ .

Paso B. Es posible definir un subconjunto $\mathcal S$ de $\mathcal P(\mathbb Q)$ , de tal manera que

1. $|\mathcal S|=|\mathcal P(\mathbb Q)|=2^{\aleph_0}$ y

2. Si $A,B\in\mathcal S$ y $A\ne B$ entonces $\,\rvert A\cap B\rvert<\aleph_0$ .

Por ejemplo, si para cada $r\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ , establecemos $A_r\in\mathcal P(\mathbb Q)$ el conjunto de los elementos de una secuencia de racionales que convergen a $r$ entonces $A_r\cap A_{r'}$ es un conjunto finito, siempre que $r\ne r'$ .

A continuación, dejemos que $\mathbb Q=\{q_n\}_{n\in\mathbb N}$ , y establecer $$ u_r=\sum_{q_n\in A_r}2^{-n}v_n, \quad r\in\mathbb R\setminus\mathbb Q. $$ Se demuestra fácilmente que el conjunto $U=\{u_r:r\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\}\subset X$ es igual a $\mathbb R$ . Queda por demostrar que $U$ linealmente independientes. Sea $u_{r_1},\ldots, u_{r_k}\in U$ y suponer que $$ c_1u_{u_{r_1}}+\cdots+c_ku_{u_{r_k}}=0, \quad\text{for some $ c_1,\ldots,c_kin\mathbb R $.} $$ Para un $j=1,\ldots,k$ ya que $A_{r_j}\cap A_{r_i}$ es finito siempre que $i\ne j$ entonces $A_{r_j}\setminus\bigcup_{i\ne j}A_{r_i}\ne\varnothing$ . Dejemos que $q_\ell\in A_{r_j}\setminus\bigcup_{i\ne j}A_{r_i}$ . Entonces $v^*_\ell(u_{r_i})=0$ para todos $i\ne j$ , mientras que $v_\ell^*(v_j)=2^{-\ell}$ y por lo tanto $$ 0=v^*_\ell\big(c_1u_{u_{r_1}}+\cdots+c_ku_{u_{r_k}}\big)=c_jv^*_\ell(u_{r_j}) =2^{-\ell}c_j, $$ y por lo tanto $c_j=0$ .