Métrica en $\mathbb R^2$ en la que cada esfera $B((x,y),r)$ es un triángulo equilátero

Question

¿Existe una métrica en $\mathbb{R}^2$ en la que cada esfera $B\bigl((x,y),r\bigr)$ sea un triángulo equilátero centrado en $(x, y)$, uno de cuyos vértices tiene la forma $(x',y)$ con $x'\geqslant x$?

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[Nota: si el triángulo fuera reemplazado por un polígono convexo centralmente simétrico, la respuesta sería "sí", ya que dicho polígono induce una norma. Para un triángulo tenemos una función de calibre que, sin embargo, no produce una métrica.]

Answer 1

Puedo demostrar la no existencia bajo lo siguiente:

Suposición: para cada punto en $\mathbb R^2$ existen bolas arbitrariamente pequeñas que no consisten en un solo punto.

Esto se implica, por ejemplo, requiriendo que no haya puntos aislados (¡o si no consideras los puntos como triángulos degenerados!).

Empieza desde cualquier dos puntos en el eje $x$, digamos $x_0=(0,0)$ y $x_1=(-1,0)$. Tendrán una cierta distancia, digamos $1$. Afirmo que los puntos $$x_k=\left(-2+\frac{1}{2^{k-1}},0\right)$$ satisfacen $d(x_k,x_{k+1})=1$.

De hecho, por la simetría de la función de distancia la esfera $S_1:=\{y:d(x_1,y)=1\}$ centrada en $x_1$ pasará por $x_0$ (observa que esta esfera podría, en principio, ser "gruesa"), y, por la suposición sobre la forma de las bolas, también pasará por $x_2$. Considera ahora la esfera de radio $1$ centrada en $x_2$ y repite el mismo argumento.

Si $x=(-2,0)$ es el punto límite, a partir de la suposición destacada anteriormente hay una bola de radio $r<\frac12$ y centro $x$ que no es un solo punto sino realmente un triángulo. En particular, tendrá un interior no vacío en $\mathbb R^2$, y contendrá al menos dos puntos consecutivos $x_k$ (de hecho todos eventualmente). Esto es imposible: una bola de radio estrictamente menor que $1/2$ no puede contener dos puntos a una distancia de uno del otro, por la desigualdad del triángulo: $$d(x_k,x_{k+1})\leq d(x_k,x)+d(x_{k+1},x)<1.$$

Answer 2

Para $(x, y) \in \mathbb R^2$ considera el mapa $\Vert \cdot \Vert_\triangleright : \mathbb R^2 \to \mathbb R_{\ge 0}$: $$(x, y) \mapsto \sup(-x, x + \frac{1}{\sqrt{3}} y, x - \frac{1}{\sqrt{3}} y)$$

Puedes demostrar que $\Vert \cdot \Vert_\triangleright$ es una norma. Además, para $r \ge 0$, el subconjunto $$B_\triangleright((x, r), r) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \ : \ \Vert (x, y) \Vert_\triangleright \le r\}$$ es un triángulo que tiene las propiedades que solicitaste.

A partir de esta norma, puedes definir una distancia que tenga todas las propiedades requeridas.