cuál es la prueba para $\lim_{x → 0} [(a_1^x + a_2^x + .....+ a_n^x)/n]^{1/x} = (a_1.a_2....a_n)^{1/n}$

Question

Esta ecuación es dada directamente en mi libro y estoy que no sabemos nada acerca de su prueba.Traté de L'Hospital de la regla mediante la diferenciación de ambos numerador así como denominador(división de la regla), pero el resultado es todavía indeterminado en las formas.Soy un principiante , y no he practicado límites que mucho. Esta fórmula es muy confuso para mí.

Answer 1

Usted puede calcular el límite del logaritmo de la expresión: $$ \lim_{x\to0}\frac{\log(a_1^x+\dots+a_n^x)-\log n}{x} $$ cual es la derivada en $0$ de $$ f(x)=\log(a_1^x+\dots+a_n^x) $$ Desde $$ f'(x)=\frac{a_1^x\log a_1+\dots+a_n^x\log a_n}{a_1^x+\dots+a_n^x} $$ tenemos $$ f'(0)=\frac{\log a_1+\dots+\log a_n}{n}= \log\bigl((a_1\dotsm a_n)^{1/n}\bigr) $$ y, por tanto, su límite es $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{a_1^x + a_2^x +\dots+ a_n^x}{n}\right)^{\!1/x} =e^{f'(0)}=(a_1\dotsm a_n)^{1/n} $$

Answer 2

Supongo que todos los $a_k$ son positivos. Deje $u_n(x)$ ser su expresión. Poner $\displaystyle v_n(x)=\log u_n(x)=\frac{\log(\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n})}{x}$ y $\displaystyle F(x)= \log(\frac{a_1^x+\cdots+a_n^x}{n})=\log G(x)$. Luego tenemos a $\displaystyle v_n(x)=\frac{F(x)-F(0)}{x}$. Ahora $G$ tiene una derivada en $x=0$, e $F$ también. Por lo $v_n(x)$ tiene para limitar el derivado de la $F$$0$. Como $\displaystyle F^{\prime}(x)=\frac{G^{\prime}(x)}{G(x)}$$G(0)=1$, esto es $G^{\prime}(0)$. Ahora $a_k^x=\exp(x\log a_k)$, y es fácil acabado.

Answer 3

La ruta más sencilla es tomar logaritmos. Vamos $$f(x) = \left(\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n}\right)^{1/x}$$ and we need to calculate the limit of $f(x)$ as $x \to 0$. Let $$ L ser este límite deseado, a continuación, hemos \begin{align} \log L &= \log\left(\lim_{x \to 0}f(x)\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log f(x)\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\log\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\cdot\left(\dfrac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n} - 1\right)\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n} - 1\right)}{\dfrac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}{n} - 1}\notag\\ &= \frac{1}{n}\lim_{x \to 0}\frac{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x} - n}{x}\notag\\ &= \frac{1}{n}\lim_{x \to 0}\sum_{k = 1}^{n}\frac{a_{k}^{x} - 1}{x}\notag\\ &= \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\lim_{x \to 0}\frac{a_{k}^{x} - 1}{x}\notag\\ &= \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\log a_{k}\notag\\ &= \log(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}\notag \end{align} Ahora sigue que $$L = (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}$$ We have used the following two standard limits in the above derivation $$\lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x)}{x} = 1,\,\lim_{x \to 0}\frac{a^{x} - 1}{x} = \log a$$

Answer 4

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\color{#f00}{% \lim_{x \to 0}\bracks{% \pars{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x} \over n}^{1/x}}} = \exp\pars{\lim_{x \to 0}\bracks{{1 \over x}\, \ln\pars{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x} \over n}}} \\[3mm] = &\ \exp\pars{\lim_{x \to 0}{\bracks{% a_{1}^{x}\ln\pars{a_{1}} + a_{2}^{x}\ln\pars{a_{2}} + \cdots + a_{n}^{x}\ln\pars{a_{n}}}/n \over \bracks{a_{1}^{x} + a_{2}^{x} + \cdots + a_{n}^{x}}/n}}\qquad \pars{~\mbox{L'H}\mathrm{\hat{o}\mbox{pital Rule}}~} \\[3mm] = &\ \exp\pars{\ln\pars{a_{1}} + \ln\pars{a_{2}} + \cdots +\ln\pars{a_{n}} \over n} = \color{#f00}{\pars{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}^{1/n}} \end{align}