¿Qué matrices son conjugado a una matriz de valor entero?

Question

¿Si tengo un % de la matriz $A \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$, cuando existe un cambio de base $B \in Gl_n(\mathbb{C})$ así que $BAB^{-1} \in M_{n\times n}(\mathbb{Z})$?

Caso $n=1$ es evidente (en este caso, $A$ es un número, $A$ debe ser un entero). Caso $n=2$ parece ya imposible hacerlo por la fuerza bruta. Sé que aunque no es trivial. ¿Hay una buena caracterización de tales matrices?

Answer 1

Para $A$ a ser el conjugado de un número entero de la matriz, es necesario que el polinomio característico de a $A$ tiene coeficientes enteros. En particular, los autovalores de a $A$ debe ser algebraica de los números enteros, y también es necesario que en la forma normal de Jordan para $A$, los tamaños de los bloques de Jordan con autovalor $\lambda_1$ son los mismos que los tamaños de los bloques de Jordan con autovalor $\lambda_2$ siempre $\lambda_1$ $\lambda_2$ algebraicos son conjugados.

Estas dos condiciones son también suficientes para $A$ a ser conjugado a una matriz de enteros. Si las condiciones de retención, $A$ es similar a una cuadra de la diagonal de la matriz, donde para cada bloque de $B$, hay un conjunto completo $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ de conjugar algebraica de los números enteros y un entero $n\geq 1$ de manera tal que la forma normal de Jordan de a $B$ ha $k$ $n\times n$ Jordan bloques con autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$. Esta $B$ es conjugado a la de la compañera de la matriz de $f(x)^n$ donde $f(x)$ es el polinomio mínimo de la $\lambda_i$. El compañero de la matriz ha entero entradas porque $f$ tiene coeficientes enteros.