¿Tiene este polinomio existen?

Question

Estoy buscando un polinomio $P(x)$ con las siguientes propiedades:

1. $P(0) = 0$.
2. $P\left(\frac13\right) = 1$
3. $P\left(\frac23\right) = 0$
4. $P'\left(\frac13\right) = 0$
5. $P'\left(\frac23\right) = 0$

De 1 y 3 sabemos que $P(x) = x\left(x - \frac23\right)Q(x)$. De 4 y 5 sabemos que $P'(x) = \alpha\left(x - \frac13\right)\left(x - \frac23\right)$. $$ \begin{align} P(x) & = \alpha\int\left(x - \frac13\right)\left(x - \frac23\right)\text{d}x \\ & = \alpha\left(\frac13x^3 - \frac12x^2 + \frac29x + \text{C}\right) \end{align} $$ Ahora 1 implica que la constante es $\text{C} = 0$, pero 3 implica que la constante es $\text{C} = -\frac{2}{81}$. Estoy haciendo algo mal o este polinomio no existe?

Si no existe, de lo cerca que puedo llegar a hacer un polinomio que satisface estas 5 condiciones?

Answer 1

Esta es la misma solución que la de Ross, pero a partir de una más de álgebra lineal centrado perspectiva.

Usted tiene cinco linealmente independiente de condiciones, para un polinomio con cinco parámetros que debe trabajar.

$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

Ahora sus cinco condiciones puede ser escrito como:

1. $e = 0$
2. $a(\frac{1}{3})^4 + b(\frac{1}{3})^3 + c(\frac{1}{3})^2 + d(\frac{1}{3}) + e = 1$
3. $a(\frac{2}{3})^4 + b(\frac{2}{3})^3 + c(\frac{2}{3})^2 + d(\frac{2}{3}) + e = 0$
4. $4a(\frac{1}{3})^3 + 3b(\frac{1}{3})^2 + 2c(\frac{1}{3}) + d = 0$
5. $4a(\frac{2}{3})^3 + 3b(\frac{2}{3})^2 + 2c(\frac{2}{3}) + d = 0$

Podemos agrupar estas cinco ecuaciones juntos en la matriz-vector de la forma como

$\left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{81} & \frac{1}{27} & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{16}{81} & \frac{8}{27} & \frac{4}{9} & \frac{2}{3} & 1 \\ \frac{4}{27} & \frac{3}{9} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ \frac{32}{27} & \frac{12}{9} & \frac{4}{3} & 1 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) $

El uso de un sistema computarizado de álgebra lineal solver para encontrar

$\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 81 \\ -108 \\ 36 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$

Por lo que su polinomio es $P(x) = 81x^4 - 108x^3 + 36x^2$. Este es el mismo Ross Millikan encontró.

La ventaja de este método es que es más flexible. Usted podría comenzar con $P(x) = ax^{50} + bx^{42} + cx^9 + dx^2 + e$ si usted quiere encontrar un grado 50 polinomio que también funcionaría. Incluso se podría iniciar con una función que no era polinomio. La desventaja es que si usted tiene más de 4 parámetros o para luego resolver el sistema va a ser demasiado engorroso para hacer a mano, y usted tendrá que depender de un ordenador.

Answer 2

Órdenes sin duda más elevadas podrían. Ya tienes cinco condiciones, que se podría esperar un cuártico a trabajar. La condición que $P(\frac 23)=P'(\frac 23)=0$ da un factor $(x-\frac 23)^2$, por lo que esperar $P(x)=x(x-\frac 23)^2(ax+b)$ aplicar ahora las condiciones en $x=\frac 13$ $a$ y $b$. Tenemos $P(\frac 13)=\frac {a+3b}{81}=1, P'(\frac 13)=-\frac b9$, tan $b=0, a=81$y $P(x)=81x^2(x-\frac 23)^2$

Answer 3

Sugerencia: $P'(a)=0$ implica $\Big(a,P(a)\Big)$ es entre los extremos, o un punto de inflexión. Mi consejo para ti sería dibujar una gráfica simple. Es claro que el área de tratar con algo que es al menos un cúbicos. También, la adición de cualquier otro raíz o maxima o puntos de inflexión no contradice la existencia de los que ya conocemos, así que está claro que una infinidad de los polinomios de existir para cualquier grado mayor de tres. Pero el cúbicos está determinada únicamente. Por qué ? Debido a $\dfrac23$ es una doble raíz. Por lo $P(x)=ax\bigg(x-\dfrac23\bigg)^2$. Ahora, ¿cuál es el valor de una ?