Mostrando que $f \in K[x]$, tenemos $f(x) \mid f(x + f(x))$

Question

Que $K$ sea un campo de una $f \in K[x]$. Ahora quiero mostrar que $f(x) \mid f(x + f(x))$ (en $K[x]$).

Sé que necesito encontrar un polinomio $g \in K[x]$ lo que $f(x) g(x) = f(x + f(x))$. Así que pensé que si empezamos con $f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$, entonces si simplemente sustituimos $x$ $x + f(x)$, obtenemos

$f(x + f(x)) = a_n (a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 + x)^n + \dots + a_1 (a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 + x) + a_0$

que no se ve tan amigable para trabajar con. Realmente no sé cómo continuar en este punto, y si ello conduce en cualquier lugar.

Answer 1

Otra forma de decir que $f(x)|f(x+f(x))$ es que $f(x+f(x))$el % pertenece al % ideal $(f(x))$generados por $f(x)$ $K[x]$. Al mismo tiempo, que esto es equivalente a $\pi(f(x+f(x))=\overline{f(x+f(x))}=0$, donde $\pi$ es el cociente natural homomorfismo $$\pi:K[x]\to K[x]/(f(x)).$ $ ahora listo causa $$\overline{f(x+f(x))}=f(\overline{x}+\overline{f(x)})=f(\overline{x})=0.$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que $(x+y)^j = x^j + y p_j(x,y)$ % polinomio $p_j(x,y)$. $y = f(x)$ Tiene $(x+y)^j = x^j + f(x) p_j(x,f(x))$.

Ahora cuando consideras $f(x+f(x))$ usar esto. Recoger todos los términos correspondientes al $x^j$ producciones junto a $f(x)$, mientras que el resto es claramente divisible por $f(x)$ como cada sumando de la forma $f(x)$ "veces algo."

Tenga en cuenta sin embargo que su fórmula para $f(x + f(x))$ no es muy correcto. Es $f(f(x))$ que escribes.

Answer 3

Deje $ L = K(c_0, c_1, \ldots, c_n) $ ser una extensión de $ K $ $ n+1 $ indeterminates, y considerar el elemento $ g(x) = \sum c_k x^k $$ L[x] $. Deje $ \bar{L} $ denotar la división de campo de la $ g $$ L $. Está claro que $ g $ tiene claras raíces en $ \bar{L} $, ya que de lo contrario no polinomio de grado $ n $ $ K[x] $ podría tener distintas raíces, y siempre se puede producir un polinomio que (por qué?). Ahora, para cualquier raíz de $ \alpha \in L $ $ g $ tenemos que $ g(\alpha + g(\alpha)) = g(\alpha) = 0 $, por lo que el $ (x - \alpha) | g(x + g(x)) $, y como $ g(x) $ tiene distintas raíces que esto implica $ g(x + g(x)) = g(x) q(x) $ algunos $ q \in L[x] $.

Ahora, vamos a $ f = \sum a_k x^k \in K[x] $, y deje $ \phi : L \to K $ ser una evaluación mapa de fijación $ K $ y el envío de $ c_k \to a_k $. Ampliar a un mapa de $ \varphi : L[x] \to K[x] $ al actuar sobre los coeficientes, tenemos

$$ f(x + f(x)) = \varphi( g(x + g(x)) ) = \varphi ( g(x) ) \varphi(q(x)) = f(x) q'(x) $$

para algunos $ q' \in K[x] $, y la prueba está completa.

La esencia de esta prueba es demostrar la propiedad dada por un polinomio genérico, que tiene la propiedad de tener distintas raíces; y, a continuación, utilizar este deducir que la propiedad debe mantener por cualquier polinomio.

Answer 4

${\rm mod}\ f(x)\!:\ \color{#c00}{f(x)\equiv 0}\:\Rightarrow\, f(x\!+\!\color{#c00}{f(x)})\equiv f(x)\equiv 0\,$ en el regla de congruencia polinómica.

Como alternativa, poner $\,y = f(x)\,$ $\,y\mid f(x\!+\!y)-f(x)\,$ $\,K[x,y]\ \ $ [Teorema del Factor]