¿Cómo puedo mostrar que la función Theta no es identicamente cero?

Question

¿Cómo puedo demostrar que para un $\omega$ fijo en el semiplano superior, la función theta

$\theta(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i(n^2\omega + 2nz)}$

no es identicamente cero? ¿Hay una elección obvia de z que funcionaría o tendría que recurrir a algún argumento de coeficiente de Fourier?

Gracias

Answer 1

Al dejar que $\omega=iy$ y $y\to +\infty$ se obtiene límite $1$ (del término $n=0$), para cualquier $\omega$. Así que no es identicamente $0$. Para probar que no es constante, resta el término $n=0$, divide por $e^{2\pi i n\omega}$, y deja que $\omega=iy$ con $y\to+\infty$ de nuevo, obteniendo el coeficiente $n=1$.

Pero sí, el argumento de la serie de Fourier es instantáneo, por lo que es mejor a largo plazo, incluso si uno quiere ver los entresijos de las cosas a corto plazo.

(Además, podrías considerar intercambiar los roles de $\omega$ y $z$, o dejar que $\omega$ sea $\tau$, pero esto es intrascendente.)

EDICIÓN: Lo siento, debido a mis expectativas sobre las elecciones notacionales, lo leí como si los roles de $\omega$ y $z$ estuvieran invertidos en la pregunta. Para corregir el $\omega$ del preguntante y preguntar si la función resultante de $z$ puede ser identicamente $0$, seguramente un argumento de serie de Fourier es óptimo: una serie de Fourier con coeficientes de Fourier no todos $0$ no es identicamente $0$ como una función (asumiendo que los coeficientes decaen un poco, para que tenga un buen sentido punto a punto).

Para $\omega$ genérico en el semiplano superior, no creo que haya una elección inteligente de $z$ para ver directamente la no identicamente $0$ punto a punto.