Yo quería aclarar algunas confusiones que estaba teniendo en la automorphism grupo de $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4}$, lo que yo llamo $Aut(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4})$.
He considerado los siguientes a la presentación de este grupo $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \langle r,s : r^{2}=1=s^{4}, sr=rs \rangle$. Busca en esta presentación, un elemento $\alpha \in Aut(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4})$ le enviará $r$ $r$o $s^{2}r$ y enviará $s$ $s, s^{3}, sr$o $s^{3}r$.
El uso de este, yo era capaz de enumerar las $8$ posible automorfismos. No he leído, pero la autmorphisms que me aparece cada uno tenía orden de $2$ y no puede ser de recordar este correctamente pero un grupo de orden $8$ donde todos los elementos de identidad son de orden $2$ es abelian.
Me volví a mirar a $Aut(\mathbb{Z}_{5} \times \mathbb{Z}_{25})$ donde me encontré con esta pregunta:
Propiedades de automorphism grupo de $G={Z_5}\times Z_{25}$
La respuesta, utiliza la siguiente proposición el resultado de que se encuentra en el papel de abajo(que no he terminado de leer pero a verificar):
Christopher J. Hillar, Darren Rhea, Automorfismos de finito Abelian grupos, arXiv
Por ejemplo, si $p$ es un número primo, entonces $$\mathrm{End}(\mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/p^2) \cong \begin{pmatrix} \hom(\mathbb{Z}/p,\mathbb{Z}/p) & \hom(\mathbb{Z}/p^2,\mathbb{Z}/p) \\ \hom(\mathbb{Z}/p,\mathbb{Z}/p^2) & \hom(\mathbb{Z}/p^2,\mathbb{Z}/p^2) \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} \mathbb{Z}/p & \mathbb{Z}/p \\ \mathbb{Z}/p & \mathbb{Z}/p^2 \end{pmatrix}$$
Pero creo que en base a ese resultado, mi conclusión de que $Aut(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4})$ es abelian parece ser falsa.
Yo soy esencialmente pregunto si hice algo mal
