¿Por qué una partícula puede tener una amplitud de distinto de cero fuera de su cono de luz hacia adelante?

Question

Estoy teniendo problemas para comprender una idea que creo que esa es una parte básica de la teoría cuántica de campos.

Muchos de introducción QFT recursos he consultado a menudo plantean la siguiente pregunta:

¿Cuál es la amplitud de partículas de viajar fuera de su delantero luz de cono?

Según mi libro de Teoría Cuántica de campos para el Aficionado de talento,

Si la amplitud es distinto de cero entonces no va a ser distinto de cero probabilidad de que una partícula se encuentra fuera de su luz delantera-cono. Esto es inaceptable y podría significar la muerte de la teoría cuántica como la hemos conocido hasta ahora.

Mis Preguntas:

1. de acuerdo a los principios de la relatividad especial, nada viaja más rápido que la velocidad de la luz. Así es el problema luego de que una partícula con valor distinto de cero probabilidad fuera de su luz delantera de cono violaría los principios?

2. ¿quién ha dicho que una partícula puede tener un valor distinto de cero amplitud fuera de la luz delantera de cono? . ¿Por qué pienso esto? Como he de reconocer que la idea es importante para la teoría cuántica de campos. Pero, supongamos que yo nunca había oído hablar de la teoría cuántica de campos. ¿Qué suceso o experimento podría hacer que usted piense que una partícula es la amplitud que se comporten de esa manera? Obviamente la relatividad especial ha sido muy exitoso, así que ¿por qué hemos de pensar nunca que una partícula tendría un valor distinto de cero probabilidad fuera de su luz delantera de cono? Me parece una idea que contradice directamente la relatividad especial.

EDITAR: Tengo la impresión de que de alguna manera esta propiedad es importante para la comprensión de las antipartículas. Tal vez una contestadora podría hablar de la forma en que encaja tan bien.

Answer 1

1. En la relatividad especial, el cono de luz define el conjunto de puntos que se puede llegar por null geodesics que se originan desde un punto de$^1$. Esencialmente es el límite del conjunto de puntos que se puede llegar por timelike curvas. Llamamos a una curva timelike si su vector tangente $u^\mu$ es normalizada de la siguiente manera$^{2}$: $u^\mu u^\nu\eta_{\mu\nu}>0$. Tres principios básicos de la relatividad especial son

1. Partículas sin masa de viajes en null curvas.

2. Masiva partículas viajan en timelike curvas.

3. La ayuda de los taquiones de viajes en spacelike las curvas y no físico.

El cono de luz de la teoría especial de la relatividad así define el conjunto de puntos de un real de las partículas puede ocupar en el futuro. Si la amplitud es cero fuera de este cono, entonces hay una probabilidad de que la partícula se propagan a lo largo de una curva con un spacelike vector tangente, violando así la relatividad especial.

2. Tal vez su cita es un poco engañoso. Propongo el siguiente re-escribir:

Si la amplitud es distinto de cero entonces no va a ser distinto de cero probabilidad de que un real de las partículas que se encuentran fuera de su luz delantera-cono. Esto es inaceptable y podría significar la muerte de la teoría cuántica como la hemos conocido hasta ahora.

Si usted nunca había oído hablar de la teoría del campo cuántico, pero había oído hablar de un poco de la desigualdad $$\Delta x\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$$ usted podría razón por la que las trayectorias son un poco "fuzzy" y quizás violar la relatividad especial.

Supongamos que había oído hablar de QFT aunque. Vamos a mostrar la amplitud de una virtual de la partícula es cero fuera del cono de luz. Para esto, debemos considerar el propagador de una línea interna de un diagrama de Feynman. El ejemplo canónico aquí es el propagador de Feynman real de un campo escalar. Vamos a resolver la ecuación $$-(\Box+m^2)D(x)=\delta^4(x)$$ por el método de funciones de Green y obtener un$^3$ $$D(x)=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^2}\frac{e^{ikx}}{k^2-m^2+i\epsilon}$$ Un estándar de cálculo por el método de los residuos conduce a$^4$ $$D(x)=-i\int\frac{d^3k}{(2\pi)^32\omega_k}\left[e^{-i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(t)+e^{i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})}\theta(-t)\right]$$ donde $\omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$ es el shell de energía. La interpretación física de $D(x)$ es que describe la amplitud de una partícula para viajar desde el origen hasta el punto de $x$. Uno encuentra que las $^5$ $$D(0,\mathbf{x})\simeq ce^{-mr}$$ donde $c$ es irrelevante constante.

Para partículas virtuales violar la relatividad especial! Entonces, ¿qué? No son reales y de la relatividad especial sólo pone restricciones en el real partículas. Esta propiedad de partículas virtuales es explicado por el principio de incertidumbre.

Entonces, ¿cómo es la causalidad, de la relatividad especial y la invariancia de Lorentz respetados en el campo de la teoría? La respuesta es probablemente lo suficientemente importante como para ser llamado un teorema$^6$. Deje $\mathcal{H}(x)$ ser la interacción densidad Hamiltoniana. A continuación, el $S$-matriz puede ser escrito como la de la serie de Dyson $$S=\mathcal{T}\exp\left(-i\int d^4x\,\mathcal{H}(x)\right)$$ donde $\mathcal{T}$ indica tiempo de ordenar. El uso de la descomposición en clústeres principio, podemos escribir el Hamiltoniano de interacción en términos de campos cuánticos.

Teorema. Todos los campos cuánticos obedecer $$[\psi_\ell(x),\psi_{\ell'}(y)]_\mp=[\psi_\ell(x),\psi^\dagger_{\ell'}(y)]_\mp=0$$ para $(x-y)$ spacelike. El $-$ mantiene para bosones y $+$ para fermiones.

Puede comprobar (penosamente) que a su modo estándar expansiones obedecer a este teorema.

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$^1$ En la relatividad general, sin embargo, esto es sólo a nivel local verdadera y depende además de la topología del espacio-tiempo. Ver, por ejemplo, Wald, teoría General de la Relatividad (1984).

$^2$ Aquí estoy usando el $(+--\,-)$ convenio.

$^3$ Véase, por ejemplo, este Phys SE post.

$^4$ Véase, por ejemplo, Cahill, Físico Matemáticas (2013), pág. 201.

$^5$ El cálculo completo se encuentra en la Zee, la Teoría Cuántica de campos en una cáscara de Nuez (2010, 2ª Ed.)., p. 545.

$^6$ Véase, por ejemplo, Weinberg, La Teoría Cuántica de Campos (1995). Yo no puedo concretar una página específica debido a que la prueba se unta sobre los capítulos 3, 4 y 5.

Answer 2

Has tocado en la respuesta a su primera pregunta: el avance cono de luz de una partícula que describe todas las coordenadas espacio-tiempo para que un fotón emitido de la partícula que podría viajar. Tenga en cuenta que este es un 4D de cono; el componente 3D es una esfera y que se expande a lo largo de la dimensión de tiempo.

Así que vamos a decir que, en este preciso momento hay una explosión de supernova en la Galaxia de Andrómeda. La galaxia es de 2,5 millones de años luz de distancia, lo que significa que usted y yo no estamos en su cono de luz; la luz de la supernova eventualmente llegar a nuestra ubicación en el espacio, sino que va a brillar "pasado" a nosotros en el tiempo, ya que en 2,5 millones de años, los dos de nosotros (probablemente) no va a estar aquí.

Ahora echemos un vistazo a algunos de materia expulsada por la supernova: atómicos de helio digamos, así que tenemos un núcleo con dos electrones a su alrededor. Los electrones como los entendemos no tienen un lugar generalmente, pero podemos describir una nube de probabilidad de dónde podríamos encontrar si hemos medido y miró para ellos. Que nube de probabilidad es técnicamente sin límites: no hay ninguna razón particular que no se busca un electrón a varios pies de distancia desde el núcleo (una distancia enorme en atomic términos), aunque sería muy raro.

Así que tome una medición cerca del núcleo y encontrar el electrón, y segundos más tarde medir de nuevo un par de pies de distancia y encontrar el electrón de nuevo. Increíble! Las probabilidades eran astronómicamente en contra de nosotros por ese resultado, pero todavía era posible y que, por casualidad. Ahora vamos a decir un par de segundos más tarde, nuestros colegas en la vía Láctea (recuerden, estamos en Andrómeda cerca de la supernova) de la medida para el electrón. Me dijo antes de que la nube de probabilidad de que el electrón es técnicamente ilimitada, por lo que no debería ser una oportunidad con un gran exponente negativo que nuestros colegas se encuentra nuestro electrones cerca de ellos, ¿verdad?

La respuesta es no. Mientras que la nube de probabilidad (la amplitud, en su literatura) es distinto de cero en todas partes en el espacio, usted también tiene que considerar el tiempo: el ejemplo más obvio es que el electrón no puede existir en cualquier punto arbitrario en el espacio antes de que exista en todo; y cuando existe se mueve con velocidad finita y por lo tanto requiere de tiempo para trasladarse de un lugar a otro. Más pronto que el electrón tendría una probabilidad distinta de cero de ser encontrado en la vía Láctea sería de 2,5 Millones de años, y , finalmente, todo el universo visible tiene una probabilidad. No sólo ahora.

En otras palabras, una partícula que aparecen fuera de su cono de luz es sinónimo de viajar más rápido que la luz... lo que es, de hecho, ¿por qué su libro afirma que esta es "inaceptable".

Answer 3

Si no estaban haciendo la mecánica cuántica, su partícula tiene masa de $m$, energía $E$, y el impulso a $\vec{p}$ satisfacer la siguiente condición:

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

y el cuatro-vector $(E,c\vec{p})$ punto tangente al movimiento de las partículas a través del espacio tiempo. Así que el hecho de que la partícula tiene una masa de fuerzas de la moción de estar dentro de la luz delantera de cono.

En la mecánica cuántica, que no suelen modelo de una partícula como una simple partícula con una trayectoria, y es prácticamente desconocido para ello en la Teoría Cuántica de campos. Pero todavía se puede considerar que los estados con tanto ímpetu y energía. Los estados con la energía y el impulso que satisfacer

$$E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$$

son llamados en la cáscara. Y creo que lo mejor es imaginar a estos como en los estados estables, en el sentido de que se puede mover a través del vacío con un cambio mínimo (decir solo una fase). Más acertadamente, que son similares a los de la pre-segunda cuantización de los estados o de libre de partículas autoestados. A menudo, estos son los asintótica (en el espacio y el tiempo) de los estados, tales como si usted está haciendo dispersión para calcular S-elementos de la matriz.

Así que todos a su alrededor, usted puede pensar en ellos como estable cuando no pasa nada, se llevan bien con el vacío.

Pero, a diferencia de la física clásica, no es necesario que la energía y el impulso asociado con un no-libres no asintótica de la partícula se en-shell. Y cuando queremos calcular la probabilidad de amplitud, en lugar de insistir en que todo ser en el shell al contrario, podemos calcular dar un factor como :

$$\frac{1}{E^2-(c\vec{p})^2-(c^2m)^2-iq}.$$

Que es más grande (en magnitud) al $E^2=(c\vec{p})^2+(c^2m)^2$, pero sin duda puede tener $ E^2-(c\vec{p})^2\neq (c^2m)^2$. Estos "estados" son off-shell pero ellos no son libres, no son de entrada a los estados, que no son estados de salida, no son asintóticas, y siempre van juntos son "partículas virtuales" si usted quiere pensar en ellos como partículas, y que, por definición, sólo existen en el interior de un cálculo, en la que hay todo un continuo de ellos. Usted no realmente quieren llevar a su "movimiento" demasiado literalmente, incluso si usted gusta pensar en el movimiento de las partículas cuánticas.

El verdadero problema es que si detecta algo que tiene que interactuar con él, y si usted interactúa, lo que están interactuando con no es una partícula libre, así que partículas virtuales son realmente involucrado en cualquiera de los detectores. Pero a menos que sea realmente cerca en la cáscara, la amplitud será ridículamente pequeño. Y es difícil saber exactamente dónde fue a parar una vez que usted tiene un detector desde el detector en sí tiene algo de propagación, por lo que la vaguedad salva de ser un problema.