Prueba de Schur ' s prueba via joven ' desigualdad s

Question

Yo soy capaz de demostrar las siguientes generalización de Schur de la prueba utilizando el Riesz-Thorin teorema de interpolación, sin embargo, me he quedado estancado desde hace unos días tratando de demostrar que el uso de los Jóvenes de la desigualdad:

Deje que la integral operador $T$ a partir de funciones $f: X \to \Bbb C$ a funciones de $Tf: Y \to \Bbb C$ ser definido a través de los kernel $K: X \times Y \to \Bbb C$ , que es de alguna función medible. Por otra parte, vamos

$$ \| K(x,\cdot) \| _{L^{q_0}(Y) } \leq 1 $$

$$\| K(\cdot,y)\|_{L^{p_1'}(X) } \leq 1$$

para todos los $x\in X$ y todos los $y\in Y$.

A continuación, para cada $0<\theta<1$ y todos los $f\in L^{p_\theta}$

$$\| Tf \| _{L^{q_\theta}(Y) } \leq \| f\|_{L^{p_\theta}(X) } $$

donde

$${1\over p_\theta} = {1-\theta\over p_0} + {\theta\over p_1} $$

$${1\over q_\theta} = {1-\theta\over q_0} + {\theta\over q_1} $$

$${1} = {1\over p_1} + {1\over p_1'} $$

y $p_0=1$$q_1=+\infty$.

Yo soy capaz de demostrar el caso especial $p_1'=q_0=1$ a través de Hölder, así como a los Jóvenes de las desigualdades. Sin embargo, estoy haciendo cero el progreso tratando de demostrar que el caso general. Estoy luchando con esto ahora por casi una semana y les agradecería mucho la ayuda! De fuentes en línea sé que es una prueba basada en los Jóvenes de la desigualdad es posible. Los jóvenes de la desigualdad no negativos reales $x,y$ es $$ xy \leq x^r/r + y^s/s$$ for dual exponents satisfying $1/r+1/s=1$ for $1<r<\infty$. Gracias de antemano.

Answer 1

[EDIT: Esta respuesta, de hecho, está mal. Ver comentarios.]

Finalmente fui capaz de usar los tres Jóvenes de la desigualdad para demostrar el teorema. Sin embargo, yo era capaz de ver a un poco más de una prueba directa, el uso de Hölder la desigualdad. Ambos teoremas explotar convexidad, mientras que Riesz-Thorin se basa en el complejo de analiticidad.

Aquí está el boceto de la prueba de uso de Hölder de la desigualdad:

A continuación, $\mu$ $\nu$ son las medidas en $X$ $Y$ respectivamente.

La idea es demostrar el teorema para funciones simples $f$ finito de medida del apoyo y, a continuación, utilizar la monotonía de convergencia.

$$ \|~T f~\|_{L^{q_\theta} } \leq \sup_{\|{h}\|_{L^{q_\theta'}(Y) }\leq 1} | \int_Y \int_X |K(x,y)| |f(x)| ~d\mu(x) ~h(y) ~d\nu(y) ~| $$

de modo que es suficiente para mostrar que

$$ | \int_Y \int_X |K(x,y)f(x) h(y)| ~d\mu(X) ~d\nu(y) ~| \leq \|{f}\|_{L^{p_\theta}(X) } \|{h}\| _{L^{q_\theta'}(Y) } ~. $$

Podemos aprovechar la homogeneización de la simetría en la reclamación. Permítanos normalizar $\|{f}\|_{L^{p_\theta}(X) }=\|{h}\| _{L^{q_\theta'}(Y) }=1$.

Denotando $L^p(X\times Y)$ $L^p$ para mayor comodidad, se puede utilizar Hölder la desigualdad de varios exponentes de la siguiente manera:

\begin{align} \|{ K f h }\|_{L^1} &\leq \|{ K^{p_1'/r_1} f^{p_\theta/r_1} } \|_{L^{r_1}} \|{ K^{q_0/r_2} h^{q_\theta'/r_2} }\|_{L^{r_2}} \|{ f^{p_\theta/r_3} h^{q_\theta'/r_3} } \|_{L^{r_3}} \\ 1&= {1\over r_1} +{1\over r_2} +{1\over r_3} \\ 1&= {p_1'\over r_1} + {q_0\over r_2}\\ 1&= {p_\theta\over r_1} + {p_\theta\over r_3} \end{align}

el que tiene la solución

\begin{align} {1\over r_1} &={1\over q_0}\\ {1\over r_2} &= {q_\theta-q_0 \over q_\theta p_1' }\\ {1\over r_3} &= {1\over q_0 } - {1\over p_\theta} ~. \end{align}

Desde $q_\theta >q_0$ exponentes $r_1,~r_2$ son finitos. Si $1/r_3$ se convierte en cero, el de tres vías Hölder la desigualdad se convierte en el estándar de Hölder la desigualdad.

Cada una de las $L^r$ normas pueden ser evaluados por la Fubini-Tonelli teorema. Desde cada una de las 3 a las normas sobre el lado derecho es igual a 1, finalmente, después de poner todo junto, $$ \| Tf \|_{q_\theta} \leq 1$$ y el reclamo de la siguiente manera.

Answer 2

No tengo suficientes puntos para comentar, pero la solución anterior no parece funcionar, por ejemplo, uno puede tomar $\theta = 1/7$, $q_{0} = 3$, $p_{1} = 5$, $q_{1} = \infty$, $p_{0} = 1$. Esto hace que $q_{\theta} = 7/2$, $p_{1}' = 5/4$, $p_{\theta}' = 35/4$, $p_{\theta} = 35/31$ y $q_{\theta}' = 7/5$. Dadas estas cifras, no podemos encontrar $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ que el anterior.

Answer 3

La desigualdad de Young realmente bidireccional es suficiente:

Tenga en cuenta que desde $ p_0 =1$ y $ q_1 = \infty $ tenemos $ p_\theta ( 1 -\theta ) + \frac{\theta p_\theta }{ p_1 } =1$ y $q_\theta' \theta +\frac{(1 -\theta) q_\theta' }{q_0 ' } =1 $. So write $$|f(x) h(y) | = |f(x)|^{p_\theta ( 1 -\theta )} |h(y)|^{\frac{(1 -\theta) q_\theta' }{q_0 ' }} |f(x)|^{\frac{\theta p_\theta }{ p_1 }}|h(y)|^{q_\theta' \theta}$$Thus by Young's inequality we have $$ |f(x) h (y) | \le (1 - \theta ) |f(x) |^{p _\theta } |h (y) |^{ \frac{q_\theta ' }{ q_0 ' }} + \theta |f(x) |^{ \frac{p_\theta}{p_1}} |h(y) |^{ q_\theta ' } $$ Then $$\int_Y \int_X |K(x,y ) f(x) h (y)| d \mu (x) d \mu (y) \le ( 1 - \theta ) \int_Y \int_X |K (x,y )|f(x) |^{p _\theta } |h (y) |^{ \frac{q_\theta ' }{ q_0 ' }} d\mu (x) d \mu (y) + \theta \int _ Y \int_X K(x,y ) |f(x) |^{ \frac{p_\theta}{p_1}} |h(y) |^{ q_\theta ' } d\mu (x) d \mu (y) $$

Ya que es $ K(x, \ast )$ $L^{q_0 }$ casi todos $x$ $ |h(y) |^{ \frac{q_\theta ' }{ q_0 ' }} $ se encuentra en $L^{ q_0 ' } $, por desigualdad del titular tenemos $$\int_Y |K (x,y )| |h (y) |^{ \frac{q_\theta ' }{ q_0 ' }} d \mu (y) \le 1$$ for almost everywhere $x $. And similarly we have $$\int_X K(x,y ) |f(x) |^{ \frac{p_\theta}{p_1}} d\mu (x) \le 1$% $# %y de #%.

Así por el teorema de Fubini tenemos $ for almost everywhere $$$ (1 - \theta ) \int _Y \int_X |K (x,y )|f(x) |^{p _\theta } |h (y) |^{ \frac{q_\theta ' }{ q_0 ' }} d\mu (x) d \mu (y) \le (1 - \theta ) $% $ $ and $

En definitiva las dos partes obtenemos $\theta \int _ Y \int_X K(x,y ) |f(x) |^{ \frac{p_\theta}{p_1}} |h(y) |^{ q_\theta ' } d\mu (x) d \mu (y) \le \theta $ $ como quería.

Answer 4

Queremos mostrar que $$\int_Y \int_X |K(x, y)| |f(x)| |h(y)| \, dx \, dy \le 1$$ para$f \in L^{p_\theta}(X)$$||f||_{L^{p_\theta}(X)} = 1$$h \in L^{q_\theta'}(Y)$$||h||_{L^{q_\theta'}} = 1$.

Para mostrar esto, hacemos uso de los Jóvenes de la desigualdad en el caso de tres variables. Esto es, para cualquier $x, y, z \ge 0$ $1 < r_1, r_2, r_3 < \infty$ tal que $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = 1$, tenemos $$xyz \le \frac{1}{r_1}x^{r_1} + \frac{1}{r_2}y^{r_2} + \frac{1}{r_3}z^{r_3}.$$ Pick $r_1, r_2, r_3$ por $$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{q_\theta}, \hspace{0.2in} \frac{1}{r_2} = \frac{1}{p_\theta'}, \hspace{0.2in} \frac{1}{r_3} = \frac{1}{p_\theta} - \frac{1}{q_\theta} = \frac{1}{q_\theta'} - \frac{1}{p_\theta'}.$$ Nota $$\frac{1}{r_3} = 1 - \frac{1 - \theta}{q_0} - \frac{\theta}{p_1'} \ge 1 - (1 - \theta) - \theta = 0.$$ Si $\frac{1}{r_3} = 0$, a continuación, se procede de la siguiente, pero el uso de los Jóvenes de la desigualdad para las dos variables $r_1$ $r_2$ e ignorando todos los términos con $r_3$.

También vamos a $$r = \frac{q_0}{r_1}, \hspace{0.2in} s = \frac{p_1'}{r_2}, \hspace{0.2in} t = \frac{p_\theta}{r_1},$$ $$u = \frac{p_\theta}{r_3}, \hspace{0.2in} v = \frac{q_\theta'}{r_2}, \hspace{0.2in} w = \frac{q_\theta'}{r_3}.$$ Por construcción, estas satisfacer $$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = 1,$$ $$r + s = 1, \hspace{0.2in} t + u = 1, \hspace{0.2in} v + w = 1,$$ $$rr_1 = q_0, \hspace{0.1in} sr_2 = p_1', \hspace{0.1in} tr_1 = p_\theta, \hspace{0.1in} vr_2 = q_\theta', \hspace{0.1in} ur_3 = p_\theta, \hspace{0.1in} wr_3 = q_\theta'.$$ Así por Jóvenes de la desigualdad en el caso de tres variables (o dos variables si $r_3$ es infinito), $$\left|K(x, y) f(x) h(y)\right| = (|K(x, y)|^{r}|f(x)|^t)(|K(x, y)|^s |h(y)|^v)(|f(x)|^u |h(y)|^w) \le \frac{1}{r_1} |K(x, y)|^{rr_1}|f(x)|^{tr_1} + \frac{1}{r_2} |K(x, y)|^{sr_2} |h(y)|^{vr_2} + \frac{1}{r_3} |f(x)|^{ur_3} |h(x)|^{wr_3}$$ $$\le \frac{1}{r_1} |K(x, y)|^{q_0} |f(x)|^{p_\theta} + \frac{1}{r_2} |K(x, y)|^{p_1'} |h(y)|^{q_\theta'} + \frac{1}{r_3}|f(x)|^{p_\theta} |h(y)|^{q_\theta'} \hspace{0.2in} (1).$$ El uso de Fubini-Tonelli y la suposición de que $||K(x, \cdot)||_{L^{q_0}(Y)} \le 1$ para casi todas las $x \in X$ \begin{eqnarray*} \int_{Y} \int_X |K(x, y)|^{q_0} |h(y)|^{q_\theta'} \, dx \, dy & = & \int_X \int_Y |K(x, y)|^{q_0} |h(y)|^{q_\theta'} \, dy \, dx\\ & \le & \int_X ||K(x, \cdot)||_{L^{q_0}(Y)}^{q_0} \, dx \int_Y |h(y)|^{q_\theta'} \, dy \le ||h||_{L^{q_\theta'}(Y)}^{q_\theta'} \le 1. \end{eqnarray*} Asimismo, el uso de la suposición de que $||K(\cdot, y)||_{L^{p_1'}(X)} \le 1$ para casi todas las $y \in Y$, $$\int_Y \int_X |K(x, y)|^{p_1'} |f(x)|^{p_\theta} \, dx \, dy \le 1.$$ Finalmente, $$\int_Y \int_X |f(x)|^{p_\theta} |h(y)|^{q_\theta'} \, dx \, dy \le ||f||_{L^{p_\theta}(X)}^{p_\theta}||h||_{L^{q_\theta'}(Y)}^{q_\theta'} \le 1.$$ La integración de la Desigualdad (1) y sustituyendo estas tres estimaciones, $$\int_Y \int_X |K(x, y)| |f(x)| |h(y)| \, dx \, dy \le \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = 1.$$

No parece ser suficiente simetría en el sistema de diez ecuaciones para las nueve variables $r_1, r_2, r_3, r, s, t, u, v, w$ que una ecuación es redundante y obtener una solución única.