Si puntos en un conjunto convexo $C$ escapan al infinito aproximadamente en dirección $v$ entonces un rayo infinito en esa dirección existe

Question

Que $C\subseteq \mathbb R^n$ un conjunto convexo. Asumir que hay una secuencia $\{c_k\}_{k\in\mathbb N}$ $c_k\in C$, $|c_k|\to\infty$ tal que $v:=\lim \frac 1{|c_k|}c_k$ existe. ¿Esto implica que existe $a\in C$ $a+[0,\infty)\cdot v\subseteq C$? ¿Es el conjunto de tal $a$ denso en $C$?

Esto parece intuitivamente claro, por ejemplo, en el caso $n=2$. Yo estaba pensando en proyectar el $c_k$ en un hiperplano $\perp v$ a través de algún punto interno de $C$ y utilizar éstos para encontrar un adecuado $a$. Pero estas proyecciones no parecen ser bien portado...

Answer 1

Sí, es cierto para $a$ en un subconjunto denso de $C$.

En primer lugar, tenga en cuenta que para cualquier fijo $b$, $\lim_{k \to \infty} c_k/|c_k| = \lim_{k \to \infty} (c_k - b)/|c_k - b|$. Así el conjunto de $v$'s $C$ es el mismo que el conjunto de $v$'s $C - b$. Podemos optar $b \in C$ y reemplace$C$$C-b$; equivalentemente, podemos suponer que las $0 \in C$.

Si $c_k \in C$$|c_k| > N>1$, $u = c_k/|c_k|$ ha $$ u = \left(1 - \dfrac{1}{|c_k|}\right) 0 + \dfrac{1}{|c_k|} c_k \in C$$ y $$N u = \left(1 - \dfrac{N}{|c_k|}\right) 0 + \dfrac{N}{|c_k|} c_k \in C$$

Por lo tanto para cualquier $N > 0$ y $\varepsilon > 0$ hay $u \in C$ $|u - v| < \varepsilon$ y $Nu \in C$.

Ahora supongamos $a$ es un punto interior de a$C$, $r > 0$ de manera tal que la bola de radio $r$ centrada en$a$$C$. Dado $M > 0$$M-1 > 2 |a|/r$, tome $0 < \varepsilon < r (M-1)/(2 M^2)$, e $u$ por encima de esta $\varepsilon$$N = M^2$. Tenemos

$$ a + M v = a + M (v-u) + M u = \left(1 - \dfrac{1}{M}\right) b + \dfrac{1}{M} (N u)$$

donde $ Nu \in C$ y $$ \eqalign{\left|b - a\right| &= \left|\dfrac{M}{M-1} (a + M (v-u)) - a\right| \cr &\le \left|\dfrac{a}{M-1}\right| + \left|\dfrac{M^2}{M-1} (v-u)\right| < r\cr}$$ de modo que $b \in C$, y por lo tanto $a + M v \in C$.

Si $C$ ha vacío interior, podemos aplicar el resultado a un mínimo afín subespacio que contiene a $C$, que luego tiene interior no vacío en relación a la subespacio afín.

Answer 2

Usted puede mirar en Rockafellar, Análisis Convexo donde se define la recesión de cono para un no-vacío conjunto convexo $C$ $$ 0^+C=\{y\colon\ x+\lambda y\in C,\ \forall\lambda\ge 0,\ \forall x\in C\}. $$ Teorema 8.2 en el libro (no en la vista previa, por desgracia) dice que por un cerrado convexo $C$ la recesión de cono $0^+C$ consiste exactamente tu tipo de límite de vectores $v$ haciendo, como @user251257 ha mencionado, $C+[0,\infty)v \subseteq C$.

Teorema 8.3 y Corolario 8.3.1 decir que para cualquier no-vacío conjunto convexo $C$ hemos $$ 0^+(\text{cl}\,C)=0^+(\text{ri}\,C), $$ lo que significa que los puntos de $a\in C$, que usted está interesado en, por lo menos toda la relación interior de $C$, lo que es seguro densa.

Answer 3

Probablemente necesite que $C$ es cerrado.

Asumir $0\in C$ sin pérdida de generalidad. If no, $a\in C$ y $|c_k-a|\to \infty$ y $$ \frac{c_k-a}{|c_k-a|} = \frac{c_k}{|c_k|}\frac{|c_k|}{|c_k-a|} - \frac{a}{|c_k-a|} \to v.$ $

Que $r\in[0,\infty)$. $|c_k|\to\infty$, $k$ Suficientemente grande, tenemos $r < |c_k|$ y $\frac r{|c_k|} c_k\in C$ de convexidad. Si $C$ está cerrado que, tenemos $\frac r{|c_k|} c_k \to r v \in C$.

Nota: Si $C$ está cerrado, de hecho tenemos $C+[0,\infty)v \subseteq C$.

Answer 4

Así que aquí está lo que yo mismo pensaba después de una buena noche de sueño:

Para $1\le m<k$ vamos $$\begin{align}U_{m,k}&=\operatorname{span}\{\,c_i-c_m\mid m<i\le k\,\}\\U_m&=\bigcup_{k\ge m}U_{m,k}\\U&=\bigcap_mU_m\end{align}$$ Desde $U_{m,m}\subseteq U_{m,m+1}\subseteq U_{m,m+2}\subseteq\ldots$ es el tiempo estacionario, contamos $U_m=U_{m,k_m}$ algunos $k_m$. Desde $U_1\supseteq U_2\supseteq\ldots$ es el tiempo estacionario, contamos $U=U_{m_0}=U_{m_0,k_0}$ algunos $m_0$$k_0$. Deje $$a=\frac{c_{m_0}+c_{m_0+1}+\ldots+c_{k_0}}{k_0-m_0+1}.$$ A continuación, para $r$ lo suficientemente pequeño como $B_r(a)\cap(a+U)$, $r$- bola alrededor de $a$ cruzaba con $a+U$, está en el casco convexo de $c_{m_0}\,\ldots,c_{k_0}$.

Fijo $m$ hemos $$\langle v,w\rangle = \lim_{k\to\infty}\left\langle \frac{c_k}{|c_k|},w\right\rangle = \lim_{k\to\infty}\left\langle \frac{c_k-c_m}{|c_k|},w\right\rangle$$ de modo que $w\perp U_m$ implica $w\perp v$. Llegamos a la conclusión de $v\in U_m$$v\in U$.

Deje $t>0$. Para $k\gg 0$ tenemos $|c_k-a| > t$ $\left|\frac{c_k-a}{|c_k-a|}-v\right|<\frac r{2t}$ y por lo tanto, encontrar para $u=2tv-2t\frac{c_k-a}{|c_k-a|}$ que $u\in B_r(0)\cap U$. A continuación, $a+tv$ es una combinación convexa de $a+u$ $a+\frac{t}{|c_k-a|}(c_k-a)$ y el segundo es una combinación convexa de $a$$c_k$. Llegamos a la conclusión de $a+tv\in C$.

El conjunto $A:=\{\,a'\in C\mid a'+[0,\infty)\cdot v\subseteq C\,\}$ es claramente convexo. Ahora vamos a $c\in C$ $a'=xc+ya$ $x>0,y\ge 0, x+y=1$ ser una combinación convexa de $a\in A$$c$. A continuación, $a'+tv$ es una combinación convexa de $c$$a+\frac txv$, por lo tanto $a'+tv\in C$$a'\in A$. Esto demuestra que $A$ es un denso subconjunto convexo de $C$. Especialmente, $A$ contiene la relación interior de $C$.