¿En qué condiciones en $f$ hace $\|f\|_r = \|f\|_s$ para $0 < r < s < \infty$ .

Question

Pregunta:

Si $f$ es una función compleja medible sobre $X$ , de tal manera que $\mu(X) = 1$ y $\|f\|_{\infty} \neq 0$ ¿cuándo podemos decir que $\|f\|_r = \|f||_s$ dado $0 < r < s \le \infty$ ?

Lo que sé:

A través de la desigualdad de Jensen que, $\|f\|_r \le \|f\|_s$ siempre es cierto. Para un poco más de generalidad (para los interesados, no porque sea útil aquí...) Si $\mu(X) < \infty$ y $1 < r < s < \infty$ entonces, $\|f\|_r \le \|f\|_s \mu(X)^{\frac{1}{r} - \frac{1}s}$ se deduce de la desigualdad de Holder.

Además, claramente $f \equiv 1$ es una solución.

Lo que he probado:

Después de no hacer ningún progreso tratando de encontrar las condiciones para $\|f\|_s \le \|f \|_r$ . He tratado de descomponer $X$ para obtener información. Sin embargo, conduce a demasiadas variables para ser útil, pero tal vez alguien pueda mejorar mi intento, así que aquí está. Dejemos que $A = \{ x : |f(x)| < 1 \}, B = \{x : |f(x)| = 1 \}$ y $C = \{x : |f(x)| > 1\}$ . Entonces, para encontrar las condiciones necesarias podemos establecer

\begin{align*} &\|f\|_s = \left( \int_{A} |f|^s d\mu + \mu(B) + \int_{C} |f|^s d\mu \right)^{1/s}\\ &= \left( \int_{A} |f|^r d\mu + \mu(B) + \int_{C} |f|^r d\mu \right)^{1/r} = \|f\|_r. \end{align*}

Sin embargo, luego procedí a no llegar a ningún lugar que pareciera útil más adelante.

Se agradece cualquier nueva idea/sugerencia. Gracias.

Answer 1

Un vistazo a la prueba de la desigualdad de Jensen es todo lo que necesitas; no hay necesidad de la desigualdad de Hölder (más sofisticada).

Para simplificar, la escala $f$ para que $\|f\|_r=1$ . Sea $g=|f|^r$ . La desigualdad de Jensen dice $\int_X g^{p}\ge 1$ (para $p=s/r>1$ ), que no es más que el resultado de integrar el punto de vista desigualdad $$g^{p} \ge 1+p(g-1) \tag{1}$$ en $X$ . La desigualdad (1) expresa la convexidad de la función $g\mapsto g^p$ su gráfica se encuentra por encima de la línea tangente en $g=1$ . Recordemos que una integral de una función no negativa es cero sólo cuando la función es cero a.e. Así, si tenemos
$$\int_X g^p = \int_X (1+p(g-1)) \tag{2}$$ entonces (1) se cumple como igualdad a.e. Pero (1) se cumple como igualdad sólo cuando $g=1$ Este es el único punto en el que la línea tangente a $g\mapsto g^p$ se encuentra con la gráfica de la función. Por lo tanto, $g=1$ a.e.

En términos de $f$ , lo que significa que $|f|$ siendo constante a.e., como señaló Daniel Fischer.

Answer 2

Dejemos que $0 < r < s < \infty$ . Usando la desigualdad de Holder, $$\int_X |f|^r\ d\mu \le \left\{\int_X (|f|^{r})^{s/r} \ d\mu \right\}^{r/s}$$ es decir $\|f\|_r \le \|f\|_s$ . La igualdad se mantiene si $|f|$ es constante a.e.

Si $s = \infty$ , $$\|f\|_r^r = \|f\|_\infty^r$$ $$\int_X (\|f\|_\infty^r - |f|^r)\ d\mu = 0$$ así que $|f| = \|f\|_\infty$ a.e., i.e. $|f|$ es constante en casi todas partes.