Suponga $f(x)$ es convexa en a $[0,\infty)$, Probar
$F(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt$ es convexo
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0. Como se mencionó en los comentarios, hay varias caracterizaciones de las funciones convexas y cada uno de ellos puede resultar útil en un contexto determinado: se puede mencionar habitual convexidad de las desigualdades, no decreciente de diferencia de proporciones, no decreciente a la izquierda y a la derecha derivados, nonnnegative segundo derivados (cuando éstos existen), la gráfica está por encima de sus tangentes, algunos dualidad a la Fenchel-Legendre, etc.
Sucede que un simple cambio de variables permite responder a la pregunta específica pedido que aquí más bien poco. Sin embargo, ahora podemos explicar otro método, cuya principal ventaja es que permite presentar algunas herramientas útiles en este contexto.
Es decir, una caracterización de la convexidad es la siguiente: la función de $f:[0,+\infty)\to\mathbb R$ es convexa en a $[0,+\infty)$ si y sólo si existe una no decreciente localmente integrable función de $g:(0,+\infty)\to\mathbb R$ y algunos finito $c$ tal que, para cada $x\geqslant0$, $$ f(x)=c+\int_0^xg(y)\mathrm dy. $$ (Para ser rigurosos aquí, sólo uno puede estar seguro de que $f(0)\geqslant c$, pero para pedir que $f$ es continua en a $0$ no cambia su convexidad.)
1. En nuestro contexto, asumiendo que $f$ es convexo y escrito como en el anterior, uno se $$ F(x)=\frac1x\int_0^xf(y)\mathrm dy=c+\frac1x\int_0^x\int_0^yg(z)\mathrm dz\mathrm dy=c+\frac1x\int_0^xg(z)(x-z)\mathrm dz, $$ y uno busca un no decreciente localmente integrable función de $h$ tal que $F=c+\int\limits_0^{\cdot} h$.
2. Para encontrar $h$, introducir la función $$ k=\int\limits_0^{\cdot}yg(y)\mathrm dy. $$ Una integración por partes de los rendimientos $$ F(x)=c+\int_0^xk'(z)\frac{x-z}{xz}\mathrm dz=c+\left[\frac{x-z}{xz}k(z)\right]_ 0^x+\int_0^xk(z)\frac{\mathrm dz}{z^2}. $$ Desde $k(z)=o(z)$ al $z\to0$, el segundo término en el lado derecho es cero y $F$ tiene la forma deseada, con $$ h(x)=\frac1{x^2}k(x)=\frac1{x^2}\int_0^xyg(y)\mathrm dy. $$ 3. Para comprobar si $h$ es no decreciente, varios de los métodos que están disponibles aquí, vamos a explicar que es completamente primaria. Para cada $0\lt x\leqslant y$, $$ y^2 h(y)=\int_0^xzg(z)\mathrm dz+\int_x^yzg(z)\mathrm dz=x^2h(x)+\int_x^yzg(z)\mathrm dz, $$ y $g(z)\geqslant g(x)$ por cada $z\geqslant x$, por lo tanto $$ 2y^2 h(y)\geqslant 2x^2h(x)+g(x)\int_x^y2z\mathrm dz=2x^2h(x)+g(x)(y^2-x^2). $$ Ahora, $g(z)\leqslant g(x)$ por cada $z\leqslant x$ por lo tanto $$ 2x^2h(x)\leqslant g(x)\int_0^x2z\mathrm dz=g(x)x^2,\quad\text{es decir,}\quad g(x)\geqslant2h(x). $$ El uso de este en la anterior desigualdad, se obtiene $$ 2y^2 h(y)\geqslant 2x^2h(x)+2h(x)(y^2-x^2)=2y^2h(x), $$ por lo tanto $h(y)\geqslant h(x)$ y la prueba está completa.
