$|g(x)| \leq K \int_a^x|g| \ \ \forall x \in I$

Question

Deje $I:=[a,b]$ y deje $g: I \to \Bbb R$ ser continua en $I$. Supongamos que existe $K > 0$ tal que $$|g(x)| \leq K \int_a^x|g| \ \ \forall x \in I.$$ Then $g(x) = 0\ \ \forall x \in I $.

Estoy atascado con el problema por favor ayuda!

Answer 1

Podemos aplicar directamente Gronwall la desigualdad en su forma integral a

$\vert g(x) \vert \leq K \int_a^x \vert g \vert dx = \int_a^x K\vert g \vert dx; \tag{1}$

hasta el presente a efectos de que se trate, Gronwall pueden ser tomadas para el estado que continua $w(x)$ $I = [a, b]$ satisfactorio

$w(x) \le \beta + \int_a^x cw(t) dt, \tag{2}$

$\beta$ constante, también la satisfacción de

$w(x) \le \beta e^{\int_a^x cdt} = \beta e^{c(x - a)}; \tag{3}$

ya que en el presente caso $\beta = 0$, en consecuencia, constatamos que

$0 \le \vert g(x) \le 0 e^{\int_a^x Kdt} = 0; \tag{4}$

así

$\vert g(x) \vert = 0, \tag{5}$

así

$g(x) = 0, x \in I. \tag{6}$

QED!