Interpretación geométrica de Noether la normalización y la búsqueda de una trascendencia base

Question

Tomar el polinomio $f = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 \in k[x_1,x_2,x_3]$, y definir el conjunto $V = Z(f) = \{(x_1,x_2,x_3) \ | \ f(x_1,x_2,x_3) = 0 \} \subset \mathbb A ^3$. Consideremos el anillo de coordenadas de $V$, dado por $k[x_1,x_2,x_3]/(f) \cong k[a_1,a_2,a_3]$ donde $a_i = x_i \ \mathrm{mod} \ (f)$.

Noether normalización dice que no existe $ \{y_1, \ldots, y_m | \ m \leq 3\} \subset k[a_1,a_2,a_3]$ de manera tal que el $y_i$ son algebraicamente independientes sobre $k$ y $k[a_1,a_2,a_3]$ es finita $k[y_1, \ldots y_m]$-álgebra. Si puedo encontrar $y_i$, entonces puedo explícitamente la construcción de un morfismos $\phi : V \to \mathbb A^m$ que es surjective y ha finito fibras (esta es la interpretación geométrica de Noether normalización).

Mi pregunta es: ¿cómo ir sobre la búsqueda de tales $y_i$?

Gracias

Answer 1

Si el estudio de la prueba de Noether de la normalización de lema, usted encontrará que es realmente constructivo de prueba se proporciona un algoritmo para resolver su problema. Yo voy a hacer; a ver si usted puede averiguar lo que está pasando. (No voy a describir el algoritmo en detalle, pero si prestan atención, usted debe ser capaz de entender por qué estoy haciendo lo que estoy haciendo.)

En primer lugar, tenga en cuenta que debemos esperar $m=2$; de hecho, la variedad definida por un único polinomio irreducible ha codimension 1. Así que será una "superficie" en $k^3$. Por lo tanto, debemos esperar que el anillo de coordenadas a tener trascendencia grado $2$$k$.

Considere la posibilidad de $f$ como un polinomio en $x_3$. El líder del coeficiente de $x_1+x_2$. Encontrar un punto donde no se desvanecen de forma idéntica, decir $x_1=1,x_2=0$. A continuación, poner $u_1=x_1+x_3$, $u_2=x_2$. Entonces podemos reescribir $f$ $$f=x_3(u_1-x_3+u_2)+(u_1-x_3)u_2 = -x_3^2+x_3u_1 + u_1u_2.$$

La magia! Este es un monic polinomio en $x_3$, con coeficientes en $k[u_1,u_2]$. Por lo tanto $R=k[x_1,x_2,x_3]/(f)$ es integral (de grado $2$)$k[x_1+x_3,x_2]$.

Geométricamente, esto corresponde a la proyección de la superficie de la $f=0$ sobre el plano generado por los vectores $(1,0,1)$ $(0,1,0)$ (es decir, el avión $x-z=0$):

Como se puede ver, la proyección es surjective (consecuencia de la integralidad de la extensión), y las fibras tienen dos puntos en casi todas partes.