Imagina dos números primos $p$$q$. Intuitivamente, me gustaría decir que siempre existe un número natural n, de modo que $p+n$ es un número primo, pero $q+n$ no.
Me dio dos consejos:
Pero todavía no puedo venir para arriba con una prueba matemática. Mi principal problema es que no entiendo cómo puedo demostrar que la suma de un primo y el otro es un número primo. Alguna ayuda?
En primer lugar demostrar que si $p$ $q$ son números primos tales que $p<q$, existe un entero positivo $n$ tal que $p+n$ es primo pero $q+n$ no lo es. Luego de completar la prueba demostrando que si $p>q$, hay un $n$ tal que $p+n$ es primo pero $q+n$ no lo es.
Caso $p<q\;$: Vamos A $d=q-p$. Deje $k$ ser el menor entero positivo tal que $p+kd$ no es primo. (No existen números primos de la forma $p+id$, tomemos, por ejemplo,$i=p$.)
Tenga en cuenta que $k>1$. A continuación, $q+(k-1)d$ no es primo, pero $p+(k-1)d$ es primo. Ahora vamos a $n=(k-1)d$.
Caso $p>q\;$: Vamos a $r$ ser el más pequeño prime mayor que $p!$, y deje $n=r-p$. A continuación, $q +n=r-p+q$ es compuesto, ya que hay al menos $p-1$ consecutivas no primos terminando en $r-1$.
Comentario: Los "grandes lagunas" idea que se utilizó para el caso de $p>q$ también podría ser utilizado para tratar el caso $p<q$. Se utilizó en su lugar incluso en una simple idea.
En los argumentos anteriores, no se hace uso de Bertrand Postulado. Primorials no fueron utilizados, pero podría haber sido. En la prueba para el caso de $p>q$, uno puede usar el producto de los números primos $\le p$ donde $p!$ fue utilizado.
La pregunta equivale a preguntar por la existencia de un primer número $A$ (mayor que el de $p$) tal que $A + (q-p)$ no es primo. De hecho, casi todos los primos de satisfacer esta condición; el número de números primos $A$ $x$ es de alrededor de $x/\log(x)$, mientras que el número con el tanto $A$ $A+k$ prime es $O(x/(\log x)^2)$, para cualquier fijo entero $k$. La última estimación es un límite superior y puede ser probado por Brun tamiz. Demostrando un trivial límite inferior es una variante de la doble primer conjetura.
Puedes ver aquí el equilibrio entre la fuerza del método de la prueba, y de la densidad del conjunto de los números primos construido.
La cuantitativa twin primer y el primer k-tuplas conjetura implica que la fracción de números primos menos de $x$ la satisfacción de las condiciones es $1 - C_k / \log(x) + o(1/\log x)$, para un explícito número racional $C_k$ calculable de $k$.
Tamiz de la teoría muestra que la fracción es $1 - o(1)$, y de hecho, al menos,$1 - \frac{c}{\log x}$, para una constante mayor que el de la primer k-sillo conjeturas. Esta es la manera correcta de magnitud para el término de error, pero con el mal constante.
Factorial o "primorial" construcciones de progresiones aritméticas de los intervalos de compuesto de números (en el que $A$ es el elegido para ser el más cercano, el primer intervalo) de captura de casi todos los números primos. Este hecho implica, y está implícita en las declaraciones cuya pruebas de uso del tamiz de la teoría, por lo que no es más fácil de probar. El término de error es del mismo tipo, $O(1/\log x)$ con los no-óptimo constante.
Dirichlet del teorema muestra que la fracción es positiva y, al menos,$1/\phi(p) + o(1)$.
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