Nota: El concepto de límite de una enorme unificación de impacto en el comienzo de la $19$siglo xx en un tiempo cuando había una insatisfacción con el estado lógico de análisis.
Algunas de las razones fueron de acuerdo a Morris Klines Pensamiento Matemático de la antigüedad hasta hoy; cap 40: La Instalación de Rigor en el Análisis :
El concepto de una función no era clara, el uso de la serie con respecto a la convergencia y la divergencia había producido paradojas y desacuerdos; la polémica sobre la representación de las funciones trigonométricas de la serie, se había introducido la confusión y las nociones fundamentales de la derivada y la integral nunca había sido adecuadamente definidas.
-
Él cita a Abel que se quejó en una carta de $1826$ acerca de:
la tremenda oscuridad que uno, sin duda se encuentra en análisis. Carece completamente de todo plan y un sistema que es curioso que tantos hombres se podría haber estudiado. Lo peor de todo es, que ha nunca sido tratados rigurosamente. Hay muy pocos teoremas de análisis avanzado que se han demostrado en una lógica sostenible de la forma. En todas partes se encuentra esta manera miserable de finales de los especiales de a la general y es muy curioso que un procedimiento de este tipo ha llevado a algunos a los llamados paradojas.
Riguroso análisis comienza con el trabajo de Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet y fue promovido por Weierstrass. Nos concentramos en Cauchy , quien introdujo el concepto de un límite de forma sistemática en el análisis.
Cauchy del programa:
Central de Cauchy del éxito rigorization del cálculo fue su realización simultanea de dos hechos. En primer lugar, que el siglo xviii límite de concepto puede ser entendido en términos de desigualdades (dado un épsilon, para encontrar una $n$ o delta).
Segundo, y más importante, que una vez que esto se había hecho, todo el cálculo podría estar basada en los límites de lo que la transformación de los resultados anteriores sobre funciones continuas, serie infinita, derivadas e integrales en los teoremas en su nuevo análisis riguroso. A pesar de que había lagunas ocasionales en su razonamiento, sin embargo, lejos outdistanced sus predecesores. Y su trabajo a condición de que el trabajo de base necesario para la eventual completa rigorization de análisis por parte de la escuela de Weierstrass.
Cauchy fuentes:
Las técnicas del álgebra de desigualdades vino en gran parte de las obras en las aproximaciones, los de Lagrange sistemática de Ecuaciones numériques. El resto de la información de Cauchy es necesario, y se utiliza, vinieron de otras cuatro obras de Lagrange y S. F. Lacroix. Lacroix del procedimiento en el tratamiento de un tema fue resumir todo el trabajo principal de los principales matemáticos. Él, al igual que la mayoría de los matemáticos de la época, quería mostrar cómo resolver los problemas, por lo tanto su Traité incluye cualquier técnica que se aplica para este fin. Precisamente porque Lacroix libro es un matemático museo de diversos métodos y resultados, que se presentan en su totalidad la complejidad, podría estar al servicio de Cauchy.
Cauchy de la definición de límite:
Cauchy se define el límite de concepto en estas palabras:
Cuando el successivley atribuye valores de la misma variable indefinidamente acercarse a un valor fijo, de manera que, finalmente, se diferencian entre sí por tan poco como desee, el último se llama el límite de todos los demás.
Este concepto, traducido en el álgebra de desigualdades, era exactamente lo que Cauchy necesarios para su cálculo. El lenguaje de esta definición verbal a veces es tomado para mostrar la superioridad de Cauchy límite del concepto por encima de todo el trabajo anterior.
La definición de Cauchy
libre de la idea de movimiento
no depende de la geometría de la
no conservar la restricción innecesaria, a menudo se incluye en las definiciones anteriores, que una variable puede nunca superar su límite.
Esto y mucho más información se puede encontrar en El Origen de Cauchy Riguroso Cálculo por Judith V. Grabiner.
Epílogo: Uno de los muchos beneficios de la nueva limitar el concepto, de que anteriormente de las tareas difíciles a continuación, podría ser resuelto en casi un proceso automatizado. Me gustaría mostrar al menos un ejemplo, que bien demuestra el poder y la elegancia de los límites.
Vamos a echar un vistazo a la interesante integral impropia
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^3-1}=-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}
\end{align*}
Observamos, que el integrando tiene una singularidad en $x=1$ y sopla-hasta menos infinito si $x$ enfoques $1$ a partir de los valores de menos de $1$ y sopla-hasta más infinito si $x$ enfoques $1$ a partir de valores superiores a $1$. Pero, ¿qué acerca de la agradable finito valor en el lado derecho? Parece, que desde la integral está firmado, los infinitos cancelar lejos de alguna manera. Pero cómo mostrar este rigurosamente? Que es donde los límites de entrar en juego!
Nota parcial fracción de descomposición da
$$\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{3(x-1)}-\frac{2x+1}{6(x^2+x+1)}-\frac{1}{2\left[\left(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right)\right]}$$
Y la integración de los diferentes términos en el lado derecho da
\begin{align*}
\int\frac{dx}{x^3-1}&=\frac{1}{3}\ln(x-1)-\frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\\
&=\frac{1}{6}\ln\left[\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}\right]-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\\
\end{align*}
El argumento de la $\log$ función en el intervalo de integración es de buen comportamiento, excepto en $x=1$ donde obtenemos $\ln(0)$. Por lo tanto consideramos
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^3-1}&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{0}^{1-\varepsilon}\frac{dx}{x^3-1}
+\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{1+\varepsilon}^{\infty}\frac{dx}{x^3-1}\\
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\left.\left[\frac{1}{6}\ln\left[\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}\right]-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\right]\right|_0^{1-\varepsilon}\right)\\
&+\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\left.\left[\frac{1}{6}\ln\left[\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}\right]-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)\right]\right|_{1+\varepsilon}^{\infty}\right)\\
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\frac{1}{6}\ln\left[\frac{\varepsilon^2}{(1-\varepsilon)^2+(1-\varepsilon)+1}\right]\right.\\
&\qquad-\left.\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2(1-\varepsilon)+1}{\sqrt{3}}\right)
+\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)\\
&+\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\infty)-\frac{1}{6}\ln\left[\frac{\varepsilon^2}{(1+\varepsilon)^2+(1+\varepsilon)+1}\right]\right.\\
&\qquad\left.+\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2(1+\varepsilon)+1}{\sqrt{3}}\right)\right)\\
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\left(\frac{1}{6}\ln\left[\frac{\varepsilon^2+3\varepsilon+3}{\varepsilon^2-3\varepsilon+3}\right]\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
&-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\infty)+\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\infty)\\
&=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right)\\
&=-\frac{\pi\sqrt{3}}{9}
\end{align*}
He encontrado este ejemplo de Pablo J. Nahin del Interior Interesante Integrales
