Tengo cierta familiaridad con las álgebras C* (desde el punto de vista de la física matemática - Bratteli-Robinson), y mientras echaba un vistazo a la "Invitación a las álgebras C*" de Arveson, me encontré con las llamadas álgebras CCR y GCR (CCR no relacionadas con las álgebras CCR de los físicos matemáticos). Parece que son algo conocidas, supongo, sin embargo permítanme recordar las definiciones de Arveson:
Un álgebra CCR es un álgebra C* $A$ tal que, para cada irreducible representación $\pi$ de $A$ , $\pi(A)$ consiste en operadores compactos.
Ahora, dada una álgebra C* general $A$ para toda representación irreducible $\pi$ (en algunos de $A$ podemos considerar el subconjunto $\mathscr{C}_\pi:=\{x\in A| \pi(x)~\mathrm{compact~in~}\mathcal{B}(\mathcal{H})\}$ , por lo que básicamente es el subconjunto de todos los operadores que son mapeados a operadores compactos. La intersección de estos conjuntos para todas las representaciones irreducibles es naturalmente una álgebra CCR llamada $\mathrm{CCR}(A)$ . Ahora definimos las álgebras GCR:
Un álgebra GCR es un álgebra C* $A$ tal que $\mathrm{CCR}(A/J)\neq 0$ para todos los ideales $J\neq A$ .
Básicamente, esto significa que las representaciones irreducibles de las álgebras C* contienen todos los operadores compactos. En particular, las C*-álgebras de dimensión finita son de este tipo, porque todos los operadores son compactos.
Vale, para los espacios de Banach no reflexivos, deberíamos sustituir el "compacto" por "completamente continuo", que en realidad es la razón por la que las álgebras CCR se llaman así, pero no me interesa mucho.
Mis preguntas son:
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Arveson afirma que las álgebras GCR son, en cierto sentido, las álgebras C* fáciles, porque sólo en ellas podemos estudiar realmente las representaciones irreducibles y escribirlas. ¿Existe alguna razón intuitiva para que esto sea así? ¿Qué tienen que ver los operadores compactos con esto?
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Además, ¿hay alguna relación con el estudio de las representaciones de las álgebras de von Neumann? Aquí sabemos que todas las representaciones irreducibles son de tipo I (si no me equivoco), pero hay muchas álgebras con representaciones que no son de tipo I y son extremadamente importantes, por ejemplo en mecánica cuántica.
O, en pocas palabras: ¿qué es lo que hay detrás de estos objetos y siguen siendo objetos interesantes de estudiar?
