En $\beta \mathbb N$ incrustar en $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ ?

Question

¿Existe una clopen subconjunto de $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ homeomorfo de $\beta \mathbb N$ ? En caso afirmativo, ¿existe alguna descripción plausible de un subespacio de este tipo?

Answer 1

No lo hay: si lo hubiera, $\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$ contendría puntos aislados, y no es así. En concreto, si $h:\beta\Bbb N\to\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$ eran homeomorfismos sobre un subconjunto cerrado $X$ de $\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$ los conjuntos $\{h(n)\}$ para $n\in\Bbb N$ se abriría en $X$ y por tanto en $\beta\Bbb N\setminus\Bbb N$ .