$F_2$ es residualmente finito, pero ¿cuáles son los subgrupos que se intersectan trivialmente?

Question

Un grupo $G$ es residualmente finito si para todo $g\in G$ con $g\not=1$ existe un subgrupo normal de índice finito, $N_g\lhd_f G$ tal que $g\not\in N_g$ . Tenga en cuenta que $\cap_{g\in G} N_g=1$ .

Es bien sabido que $F_2$ es residualmente finito. Para demostrarlo, basta con recordar que los grupos lineales son residualmente finitos, y $F_2$ es lineal porque las matrices $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ & } \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$$ generan un grupo libre. Sin embargo, esta prueba es algo desagradable. Me gustaría saber cuáles son los subgrupos $N_g$ son.

¿Existe un conjunto "bonito" de subgrupos de índice finito de $F_2$ que se cruzan trivialmente?

Agradable es, por supuesto, un término subjetivo. Por "agradable" podría entenderse "adoptar la misma forma". Sin embargo, dudo que esto pueda ocurrir (si "tienen la misma forma", es de suponer que alguna regla dicta esta forma, y esta regla está definida por una palabra, o una colección de palabras, y por tanto la intersección de los subgrupos no es trivial). Alternativamente, podría referirse a la característica, que es agradable en un sentido diferente. Supongo que si puedes dar una razón por la que pueda pensar que tu conjunto es bonito, eso sería... bonito.

Answer 1

Esta es una posibilidad, entre muchas otras. Fijar un número primo $p$ . Para cualquier grupo $G$ , defina $\gamma_{1}^{p}(G) = G$ y, para $n\geq 1$ , defina $$\gamma_{n+1}^{p}(G) = \left(\gamma_{n}^{p}(G)\right)^{p}[G,\gamma_{n}^{p}(G)],$$ donde $[A,B]$ denota el subgrupo generado por conmutadores de la forma $[a,b]$ con $a\in A$ y $b\in B$ . Si $G$ está generada finitamente, entonces $G/\gamma_{n}^{p}(G)$ es un finito $p$ -grupo, para todos $n$ . En particular, para el grupo libre $F_{2}$ de rango dos, los grupos $F_{2}/\gamma_{n}^{p}(F_{2})$ son todos finitos. Además, como los grupos libres son residualmente $p$ -finito, tenemos $\bigcap_{n\geq 1}\gamma_{n}^{p}(F_{2}) = 1$ .

Answer 2

Este es un argumento topológico:

En el libro de Hatcher, se puede encontrar el siguiente lema fácil (capítulo 1.A, ejercicio 10):

Lema: Dejemos que $X$ sea la suma en cuña de $n$ círculos, con su estructura gráfica natural, y dejemos que $\tilde{X} \to X$ sea un espacio de cobertura con $Y \subset \tilde{X}$ un subgrafo conectado finito. Demostrar que existe un grafo finito $Z \supset Y$ que tiene los mismos vértices que $Y$ , de manera que la proyección $Y \to X$ se extiende a un espacio de cobertura $Z \to X$ .

Dejemos que $X$ sea un ramo de dos círculos y $\tilde{X}$ sea su cobertura universal, es decir, el grafo de Cayley de $\mathbb{F}_2$ . Para todos los $n \geq 1$ , dejemos que $X_n \to X$ sea la cobertura que extiende la proyección $B(1,n) \to \tilde{X}$ de la pelota $B(1,n)$ de radio $n$ y centrado en $1$ en el gráfico $\tilde{X}$ es fácil ver que $X_n$ es sólo $B(1,n)$ con aristas adicionales entre los vértices de la esfera $S(1,n)$ . Por lo tanto, los elementos no triviales de $\mathbb{F}_2$ en la bola $B(1,n-1)$ no están en $\pi_1(X_n)$ Por lo tanto $\bigcap\limits_{n \geq 1} \pi_1(X_n) = \{1\}$ . Además, cada $\pi_1(X_n)$ es un subgrupo de índice finito de $\pi_1(X)= \mathbb{F}_2$ ya que el gráfico $X_n$ es finito.

Los subgrupos $\pi_1(X_n)$ no se describen de forma muy explícita, pero es fácil dibujar $X_n$ para los pequeños $n$ por lo que se puede esperar encontrar un conjunto generador para estos grupos.