Si $a$, $+2$ y $un+4$ son números primos, entonces, ¿cómo se puede demostrar que sólo hay una solución para $$?

Question

Si $a$, $+2$ y $un+4$ son números primos, entonces, ¿cómo se puede demostrar que sólo hay una solución para $$?

cuando, $a=3$

tenemos, $a+2=5$ y $un+4=7$

Answer 1

$a\equiv 0 \mod 3\Rightarrow a=3$

$a\equiv 1\mod 3\Rightarrow a+2\equiv 0\mod 3\Rightarrow a+2=3\Rightarrow a=1$

$a\equiv 2\mod 3\Rightarrow a+4\equiv0\mod 3\Rightarrow un+4=3\Rightarrow a=-1$

Así que la única posibilidad es la primera.

Answer 2

Sugerencia.. $a+4\equiv un+1\quad \pmod 3$

Answer 3

Primero de todo $$ debe ser impar.

Si el primer $a>3,$ debe $6b+1$ o $6b-1$, donde $b$ es un número natural $≥1$.

Si $a=6b+1, a+2=3(2b+1)$ es compuesto como $2b+1≥3$

Si $a=6b-1, un+4=3(2b+1)$ es compuesto como $2b+1≥3$

De hecho, $3\mediados de los a(a+k)(a+2k)$ donde $k$ es un número entero positivo con $(3,k)=1$

Como $a(a+k)(a+2k)=a^3+3a^2k+2ak^2≡a^3+2ak^2\pmod 3≡a^3+2a$ as $k^2≡1\pmod 3$

Así,$a(a+2k)(a+4k)≡a^3+2a\pmod 3≡a(a-1)(a+1)+3a\pmod 3$

Así que si $a>3$ y $(3,k)=1$, uno de $a, (a+k)$ o $(a+2k)$ es divisible por $3$, por lo tanto es compuesto.

Observar que exactamente uno de ellos es divisible por $3$.

Por lo tanto, si $a≠3$ todos $a,a+k,+2k$ no puede ser primo.

De nuevo, $k$ debe ser para mantener $a+k,+2k$ impar.

Así, $k$ debe ser de la forma $6m±2$ $(3,k)=1$.

Mediante la observación, algunos de los valores de $k$ para que todos los de $3,3+k 3+2k$ es de los primeros, son de $2,4,8,10,14,20,\cdot a\cdot a\cdot$.

Answer 4

Sugerencia de $\ $ son impares entonces $\equiv 1,3,5\pmod 6$ por lo tanto $\equiv 3$ debe $= 3,$ primos.

Answer 5

PISTA: Uno de los números $a,a+2$, y $+4$ debe ser divisible por $3$. Por qué?