Deje $\Bbb R^+$ el conjunto de los números reales positivos. Utilizar el Lema de Zorn para mostrar que $\Bbb R^+$ es la unión de dos disjuntos, no vacía de subconjuntos, cada uno cerrado bajo la suma.
Respuesta
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Primero recordemos el lema de Zorn.
El lema de Zorn. Supongamos que $(P,\leq)$ es un no-vacío parcial conjunto ordenado tal que siempre que $C\subseteq P$ es una cadena, entonces no es $p\in P$ que por cada $c\in C$, $c\leq p$. A continuación, $(P,\leq)$ tiene un elemento maximal.
Para utilizar el lema de Zorn, si es así, uno tiene que encontrar un orden parcial con la anterior propiedad (cada cadena tiene una cota superior) utilizar el maximality para probar lo que se necesita.
Vamos a utilizar el orden parcial cuyos miembros se $(A,B)$ donde $A,B$ son distintos subconjuntos de a $\mathbb R^+$ cada uno es cerrado bajo la suma. Vamos a decir que $(A,B)\leq (A',B')$ si $A\subseteq A'$$B\subseteq B'$.
Obviamente este es un orden parcial. Es no vacío, ya que podemos tomar $A=\mathbb N\setminus\{0\}$$B=\{n\cdot\pi\mid n\in\mathbb N\setminus\{0\}\}$, ambos son claramente cerrado bajo la suma y la desunión.
Supongamos que $C=\{(A_i,B_i)\mid i\in I\}$ es una cadena, vamos a $A=\bigcup_{i\in I}A_i$$B=\bigcup_{i\in I} B_i$. A ver que estos conjuntos son disjuntos supongamos $x\in A\cap B$ alguna $A_i$ $B_j$ tenemos $x\in A_i\cap B_j$. Sin pérdida de generalidad $i<j$ $x\in A_j\cap B_j$ contradicción de la hipótesis de que $(A_j,B_j)\in P$ y por lo tanto estos son conjuntos disjuntos. La prueba de que $A$ $B$ son cerrados bajo los sindicatos es similar.
A continuación, $(A,B)\in P$ y por lo tanto es una cota superior de a $C$. Así que cada cadena tiene una cota superior y el lema de Zorn se dice que hay algunos $(X,Y)$ que es un elemento maximal.
Ahora todo lo que queda es demostrar que el $X\cup Y=\mathbb R^+$. Supongamos que no era entonces hubo algunos $r\in\mathbb R^+$ que no estaba ni en $X$ o en $Y$, entonces podemos tomar $X'$ a ser el cierre de $X\cup\{r\}$ bajo la suma. Si $X'\cap Y=\varnothing$ $(X',Y)\in P$ y es estrictamente por encima de $(X,Y)$ lo cual es una contradicción a la maximality. Por lo tanto, $X'\cap Y$ no está vacía, pero luego de tomar $Y'$ a ser el cierre de $Y\cup\{r\}$ por debajo de lo que también tiene que ser distinto de $X$, y el maximality argumento es nuevo.
En cualquier caso tenemos que $X\cup Y=\mathbb R^+$.
