Como ya se señaló en los comentarios, un posible enfoque inicial de este problema es la siguiente. Supongamos que, después de seleccionar el número máximo en cada fila, el número mínimo de $A$ es que en el $j^{th} $ fila. Además, supongamos que, después de seleccionar el número mínimo de cada columna, el número máximo de $B$ es que en el $i^{th} $ columna. Ahora, considere el número de $x_{i,j} $ correspondiente al punto de cruce de las $i^{th} $ columna y $j^{th} $ fila. Podemos conseguir directamente que $A \geq x_{i,j} \geq B $. Por lo tanto, el buscado probabilidad de que $A >B $ es igual a $1-Pr[ A = x_{i,j} = B] $, donde este segundo término expresa la probabilidad de que tanto los dos procedimientos, finalmente, identificar el mismo número en la matriz.
Podemos ahora continuar como sigue. En primer lugar, tenga en cuenta que la condición de que dos procedimientos, finalmente, identificar el mismo número en la matriz implica que existe un número $x_{i,j} $ en la matriz que es la más alta en su fila, y la más baja de su columna. También tenga en cuenta que, si el número existe, entonces debe de ser único. Para mostrar esto, supongamos que existe otro número $x_{r,s} $ (correspondiente al punto de cruce de las $r^{th} $ columna y $s^{th} $ fila) que - al igual que $x_{i,j} $ - es la más alta en su fila, y la más baja de su columna. Esto implicaría $$x_{i,j} > x_{r,j} > x_{r,s} > x_{r,j} > x_{i,j} $$ which is clearly impossible. Therefore, we have that $Pr[ A = x_{i,j} = B]$ is equivalent to the probability that there exists a number $x_{i,j} $ en la matriz que es la más alta en su fila, y la más baja de su columna.
Ahora podemos intentar calcular esta probabilidad. La probabilidad de $P_C(k)$ que, después de la división de la primera $n^2$ enteros en $n $ al azar a los grupos de $n $ elementos (es decir, las columnas), un determinado número de $k$ de este conjunto es de los más bajos de su grupo está dada por
$$P_C(k)= \frac {n^2-k}{n^2-1} \cdot \frac{n^2-k-1}{n^2-2}.... \cdot \frac {n^2-k-n+2} {n^2-n+1} $$
donde la secuencia de las fracciones expresa la probabilidad de que, dado $k $, el primero, el segundo... y el $(n-1)^{th}$ entre el resto de los números en su grupo/columna son todos los $>k $. Esta probabilidad fórmula es válida sólo para $k \leq n^2-n+1$ (para valores más altos de $k $ la probabilidad es cero). La expresión anterior también se puede escribir como
$$ P_C(k)= \frac {(n^2-k)!}{(n^2-k-n+1)!} \cdot \frac {(n^2-1)!}{ (n^2-n)!} =\frac {\binom{n^2-k}{n-1}} {\binom{n^2-1}{ n-1}} $$
Por similares consideraciones, podemos calcular la probabilidad de $ P_R(k) $ que, después de la división de la primera $n^2$ enteros en otras $n $ al azar a los grupos de $n $ elementos (es decir, las filas), nuestro número de $k$ es el más alto de su grupo. Porque esta vez tenemos que excluir, de los posibles otros términos que se pueden comparar en este grupo, el $n-1$ términos ya examinados en la misma columna de $k $ (es claro que estos términos no se pueden comparar también en la misma fila de $k $), y teniendo en cuenta que todos estos $n-1$ términos se $>k $, obtenemos
$$P_R(k) = \frac {k-1}{n^2-n} \cdot \frac{k-2}{n^2-n-1}.... \cdot \frac {k-n+1} {n^2-2n+2} $$
donde de nuevo la secuencia de las fracciones expresa la probabilidad de que, dado $k $, el primero, el segundo... y el $(n-1)^{th}$ entre el resto de los números en su grupo/columna son todos los $<k $. Esta probabilidad fórmula es válida sólo para $k \geq n$ (valores más bajos de $k $ la probabilidad es cero). Tenga en cuenta que, por las razones explicadas anteriormente, los denominadores han sido la disminución de $n-1$ respecto a los utilizados antes. La expresión anterior puede ser escrita como
$$ P_R(k) = \frac {(k-1)!}{(k-n)!} \cdot \frac {(n^2-n)!}{ (n^2-2n+1)!} =\frac {\binom{k-1}{ n-1}} {\binom{n^2-n}{ n-1}} $$
Ahora podemos calcular la probabilidad de que en la matriz existe un número $x_{i,j} $ que es el más alto en la fila y la más baja de su columna. Este puede ser obtenido mediante la suma, para todos los valores posibles de a $k $, el producto de $P_C(k) $$P_R(k)$:
$$\sum _{k=n}^{n^2-n+1} P_C(k) \cdot P_R(k) = \sum _{k=n}^{n^2-n+1} \frac {\binom{n^2-k}{ n-1}} {\binom{n^2-1}{ n-1} } \frac {\binom {k-1}{ n-1}} {\binom{n^2-n}{ n-1} } $$
Recordando que esta probabilidad es igual a $Pr[ A = x_{i,j} =B]$, se obtiene finalmente
$$Pr[ A>B] = 1- Pr[A= x_{i,j}=B] $$
$$=1- \sum _{k=n}^{n^2-n+1} \frac {\binom{n^2-k}{ n-1}} {\binom{n^2-1}{ n-1} } \frac {\binom{k-1}{ n-1}} {\binom{n^2-n}{ n-1}} $$
Tenga en cuenta que, para el caso de $n=2$, esta expresión se reduce a los casos de $k=2$$k=3$. Puesto que la suma da $1/3$ en ambos casos, el resultado final para el caso de $n=2$ es $$Pr [A>B]=1-1/3-1/3=1/3$$ as anticipated in the comments. The cases $n=4$ and $n=5$ give $$1-3/10=7/10$$ and $$1-4/35=31/35$$
respectivamente, que son muy cercanos a los valores experimentales reportados en la OP. La probabilidad crece rápidamente y tiende a $1$. Por ejemplo, para $n=10$ su valor es $$1-5/46189 \approx 0.99989... $$
de nuevo confirmando el valor experimental.
