Suma infinita de primos recíprocos

Question

Dejemos que $\mathbb D$ sea el conjunto de todos los números reales que pueden expresarse como una suma de recíprocos primos distintos, es decir $\mathbb D = \{ d \in \mathbb R \mid d = \sum_{k \in \mathbb K} \frac 1k $ para algún subconjunto (posiblemente infinito) $\mathbb K$ de los números primos $\mathbb K \subset \mathbb P \}$ .

No soy matemático, y sólo tengo una idea muy vaga de las sumas infinitas, pero intuitivamente, me parece que la mayoría de los números reales no están en $\mathbb D$ . ¿Es eso cierto? ¿Hay alguna manera de decidir si un número real dado está en $\mathbb D$ por ejemplo, es $\pi \in \mathbb D$ ?

Answer 1

EDIT, la mañana siguiente: cuando escribí el primer párrafo de abajo, me parecía obvio que el algoritmo codicioso funcionaba, basado en hipótesis mínimas. Desde entonces no estoy seguro de ello, y ahora sospecho que lo de Bertrand es crucial en lo que escribí a continuación... Hice una pregunta de seguimiento, y estoy completamente satisfecho con una respuesta. Sigo siendo incierto sobre la cuestión de si el algoritmo codicioso siempre funciona; eso no es lo que pregunté en mi pregunta. En la otra dirección, no estoy teniendo suerte en inventar una secuencia (de reales decrecientes0 y un objetivo positivo para el que greedy falla, así que ... ver ¿Se puede escribir todo real positivo como la suma de una subsecuencia de punto punto punto

ORIGINAL: Todos los números reales positivos están en $\mathbb D.$ La suma de los primos recíprocos diverge pero los términos individuales van a cero. Un algoritmo codicioso para elegir los primos que se incluirán dará lo que se desee; es decir, dado lo que queda después de restar los primos recíprocos utilizados hasta ahora, tomar el primo más pequeño con recíproco menor que lo que queda.

Puedo ser un poco más específico sobre el progreso en cada paso, debido al postulado de Bertrand. Llama a la suma hasta ahora $R,$ y el objetivo $T > R.$ Finalmente llegamos a un punto en el que surge una elección, porque el recíproco del siguiente primo es demasiado grande. A medida que los primos crecen, finalmente hay consecutivos primos $p,q$ tal que $p$ no funciona pero $q$ lo hace. Es decir, $$ R + \frac{1}{p} > T \geq R + \frac{1}{q}.$$ Resta $R$ en todo, $$ \frac{1}{p} > T -R \geq \frac{1}{q}.$$ Invertir, $$ p < \frac{1}{T-R} \leq q. $$ El postulado de Bertrand dice que $q < 2p,$ por lo que tenemos $$ p < \frac{1}{T-R} \leq q < 2 p < \frac{2}{T-R}. $$ Invierte la espalda, $$ \frac{1}{p} > T -R \geq \frac{1}{q} > \frac{1}{2 p} > \frac{T-R}{2}.$$ Añadir $R$ en todo, $$ R + \frac{1}{p} > T \geq R + \frac{1}{q} > R + \frac{1}{2 p} > \frac{T+R}{2},$$ o $$ T \geq R + \frac{1}{q} > \frac{T+R}{2}.$$ Es decir, una vez que nos acercamos lo suficiente, podemos hacerlo al menos tan bien como reducir a la mitad la distancia restante a $T.$

Si juntamos la serie divergente y lo de reducir a la mitad, el proceso se puede resumir de una manera híbrida, que dice que podemos reducir a la mitad la distancia a recorrer en cada "paso". Ya hemos utilizado algunos primos y nos queda una distancia por recorrer. Si el recíproco del siguiente primo es lo suficientemente pequeño, y el siguiente primo después, y así sucesivamente. Finalmente llegamos a la elección descrita anteriormente, y la distancia a recorrer es menor. Por una última elección, arriba $q$ en lugar de $p,$ podemos reducir a la mitad lo que queda. Así que, llámese a eso un paso, una cadena de primos consecutivos (posiblemente vacíos) seguida de una elección de un solo ejemplar.

Este método me hace preguntarme, dada cualquier secuencia estrictamente decreciente de números positivos con suma divergente, pero sin Bertrand, ¿podemos seguir diciendo que obtenemos todos los reales positivos? No estoy seguro.