Pregunta de sustitución cuadrática: aplicación de la sustitución $p=x+\frac1x$ a $2x^4+x^3-6x^2+x+2=0$

Question

Utilizando la sustitución $p=x+\frac{1}{x}$ , demuestran que la ecuación $$2x^4+x^3-6x^2+x+2=0$$ se reduce a $2p^2+p-10=0$ .

No se me ocurre nada que produzca un resultado útil, he intentado escribir p como $p=\frac{x^2+1}{x}$ y encontrar áreas de sustitución, pero han llegado sin ningún progreso. ¿Podría alguien ofrecer una pequeña pista sobre cómo proceder?

Merci

Answer 1

Como este ,

ya que la ecuación es una ecuación recíproca del primer tipo con $x\ne0,$

dividir ambos lados por $\displaystyle x^{\frac42}=x^2$ para reducir el grado de la ecuación a la mitad

$$2x^2+x-6+\frac1x+\frac2{x^2}=0$$

$$\implies 2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\left(x+\frac1x\right)-6=0$$

$$\implies 2\left\{\left(x+\frac1x\right)^2-2\right\}+\left(x+\frac1x\right)-6=0$$

Referencia : La ecuación recíproca se explica aquí:

Capítulo XI de Álgebra superior,Barnard & Child y

Artículo $568570$ de Álgebra superior, Hall & Knight

Answer 2

Una pista: Intenta trabajar hacia atrás. Comienza con: $$ 2\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + \left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 10 = 0 $$ entonces trata de obtener la ecuación original expandiendo y luego despejando los denominadores.

Answer 3

$$p=x+x^{-1}$$ $$p^2=x^2+2+x^{-2}$$ $$2x^4+x^3-6x^2+x+2=0$$ $$2x^2+x-6+x^{-1}+2x^{-2}=0$$ $$2(x^2+2+x^{-2})+(x+x^{-1})-10=0$$ $$2p^2+p-10=0$$

Answer 4

$$ \begin{align} 2x^4+x^3-6x^2+x+2 & = x^2\Big(2x^2 + x - 6 + \frac1x + \frac{2}{x^2}\Big) \\[12pt] & = x^2 \Big(2\left(x+\frac1x\right)^2 + \left(x+\frac1x\right) - 10 \Big) \\[12pt] & = x^2(2p^2 +p-10). \end{align} $$ Esto equivale a $0$ sólo si $x=0$ o el segundo factor es igual a $0$ . Pero claramente $x=0$ es no una de las soluciones.