Potencia infinita por $i$

Question

Encuentra el valor de:

$i^{i^{i^{i^{i^{i^{....\infty}}}}}}$

Simplemente la potencia infinita por i's y el valor límite.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Denotemos $x=i^{i^{i^{i^\cdots}}}$ . Entonces tenemos $$i^x=x.$$ Parece que la solución es $x= \frac{2i}{\pi} W(-i\pi/2)$ con $W$ Lambert's $W$ función. Ahora, $W$ es multivalente. Tienes que averiguar cuál de las diferentes ramas $x$ converge a (y si converge en absoluto). Numéricamente, se encuentra (utilizando la rama principal del logaritmo para definir la exponenciación) que $x= 0.438283 + 0.360592 i$ que corresponde a la rama principal.

Sabiendo que deberías ser capaz de demostrar el resultado por algún tipo de teorema de punto fijo.

Answer 2

He aquí un resultado numérico que apoya el argumento de Fabian.

Aquí, el logaritmo complejo

$$ z^{w} := \exp (w \operatorname{Log} z) $$

se define a través del valor principal $\mathrm{Log}$ del logaritmo, definido en $\Bbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ .

Answer 3

Esto es más bien otro comentario que una respuesta, pero contiene una imagen, así que...
Si mostramos la trayectoria de 3 pasos separada en 3 trayectorias individuales, obtenemos una mejora de la imaginación de la convergencia. Véase esto

Se pueden hacer mejoras similares con otras bases. La idea es utilizar esto para procedimientos de aceleración de la convergencia como las sumas de Euler y similares.

[Actualización]: También se puede mejorar el proceso de convergencia sobre la necesidad de iterar 100 veces y más. Basta con utilizar la iteración de Newton. Aquí hay un fragmento de código en Pari/GP:

f(x)  = exp( L *x)    \\ implements x->  b^x where L is the log of te base b
fd(x) = L * exp(L*x)  \\ implements the derivative of f(x)

L = log(I)
x0=0.5+0.5*I       \\ Initialize
[x0=x0 - (f(x0)-x0)/(fd(x0)-1)  , exp(L*x0)-x0]  \\ repeat this, say, 7 times

Resultado:

x0=0.5+0.5*I    \\ initialize
 %214 = 0.500000000000 + 0.500000000000*I

[x0=x0 - (f(x0)-x0)/(fd(x0)-1)  ,  exp( L*x0)-x0]   \\ repeat this say 7 times
 %215 = [0.429683379978 + 0.358463904092*I, 0.0149144114062 - 0.00263680525658*I]
 %216 = [0.438282449555 + 0.360624709917*I, -0.0000214307236671 - 0.0000508331490807*I]
 %217 = [0.438282936547 + 0.360592471486*I, 0.000000000547853619231 + 0.000000000479209718138*I]
 %218 = [0.438282936727 + 0.360592471871*I, 1.24483565546 E-19 - 2.36342583549 E-20*I]
 %219 = [0.438282936727 + 0.360592471871*I, -1.59860647096 E-39 - 3.49116795082 E-39*I]
 %220 = [0.438282936727 + 0.360592471871*I, 2.79037134755 E-78 + 2.15595352591 E-78*I]
 %221 = [0.438282936727 + 0.360592471871*I, 2.83277459577 E-156 - 9.05172112238 E-157*I]
 %222 = [0.438282936727 + 0.360592471871*I, 5.10320381 E-203 - 2.551601908 E-203*I]
  \\ convergence sufficient, 200 dec digits

Answer 4

Otra forma es tomar logaritmos naturales:

$$i^{i^{i^{i^{i^{i^{\dots \infty}}}}}}=y$$

$$\ln y= \ln (i)^y$$

$$y\ln i=\ln y$$

$$\ln i=\dfrac{i \pi}{2}$$

$$\dfrac{y.i\pi}{2}= \ln y$$

$$e^{\frac{iy\pi}{2}}=y$$

Answer 5

$$ e^{i\pi z/2}=z\Rightarrow-\frac{i\pi}2ze^{-i\pi z/2}=-\frac{i\pi}2\tag{1} $$ Por lo tanto, $$ z=\frac{2i}{\pi}\mathrm{W}\left(-\frac{i\pi}2\right)\tag{2} $$ Que Mathematica da como N[2 I/Pi LambertW[0, -I Pi/2], 20] $$ 0.43828293672703211163 + 0.36059247187138548595 i\tag{3} $$ Dado que este es el único valor en el que la derivada de $e^{i\pi z/2}$ tiene un valor absoluto menor que $1$ es el único punto límite estable. En particular, la derivada es $$ 0.89151356577604704289e^{2.25924955390259874973\,i}\tag{4} $$ cuando se acerca al límite, el mapa es una contracción con relación $0.89151356577604704289$ combinado con una rotación de $2.25924955390259874973$ radianes. Esto se ve en los gráficos suministrados en otras respuestas.

Aumentar $(4)$ al poder $t$ y el ajuste $\theta=2.25924955390259874973\,t$ da que $$ r=z_0\,e^{-\lambda\theta}\tag{5} $$ donde $\lambda=-\dfrac{\log(0.89151356577604704289)}{2.25924955390259874973}=0.05082865892244868531$ .

Así, los iterados se acercan a una curva exponencial.