Funciones diferenciables y continuas sobre [0,1] con condiciones "raras".

Question

Llevo un tiempo atascado en esto. Viene de una pregunta de análisis cualitativo.

Sea f una función continua en $\left[0,1\right]$ y diferenciable en $(0,1)$ . Demuestre que si $f(0)=0$ y $|f'(x)| \leq |f(x)|$ para todos $x \in (0,1)$ entonces $f(x)=0$ para todos $x \in \left[0,1\right]$ .

Lo que he intentado hacer hasta ahora es ver si había algo que pudiera hacer con MVT. Tampoco he visto nada que hacer con las definiciones..a lo que tengo la sensación de que voy a jugar con ellas. Hacer un dibujo fue un poco difícil con estas condiciones también

¿Algún consejo/sugerencia?

Answer 1

Basta con demostrar que $f=0$ en cada intervalo $[0,b]\subsetneq [0,1]$ (debido a la continuidad). Para demostrarlo, dejemos que $x_0$ sea el máximo de $|f|$ en $[0,b]$ . Entonces,

$$|f(x_0)|=\left|\int_0^{x_0}f'(t)\, dt\right|\leqslant \int_0^{x_0}|f'(t)|\, dt\leqslant\int_0^{x_0}|f(t)|\, dt\leqslant x_0 |f(x_0)|$$

Desde $x_0<1$ Esto implica que $|f(x_0)|=0$ y así $f=0$ .

Answer 2

También hay una prueba utilizando el MVT:

Dejemos que $x_{0} \in (0,1)$ . La MVT implica que $\left | f(x_{0}) - f(0) \right | = \left| f'(x_{1}) \right| \left| x_{0} - 0 \right|$ para algunos $x_{1} \in (0,x_{0}).$ También, $$ |f(x_{0})| = |x_{0}||f'(x_{1})| \leq |x_{0}| |f(x_{1})|$$ por suposición. Aplicando de nuevo la MVT se obtiene $$ |f(x_{0})| \leq |x_{0}| |x_{1}| |f(x_{2})| $$ para algunos $x_{2} \in (0,x_{1}).$ Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia de puntos $(x_{n})$ tal que $x_{n} \to 0$ como $n \to \infty$ y $$ 0 \leq |f(x_{0})| \leq |x_{0}| ...|x_{n}| |f(x_{n+1})|.$$ Pero $f(x_{n}) \to 0$ como $n \to \infty$ (por continuidad), por lo que el teorema de squeeze da que $f(x_{0})=0.$ Así, $f(x)=0$ en $[0,1).$

La continuidad implica entonces que $f(1)=0,$ completando la prueba.

Answer 3

Este es un enfoque un poco ad-hoc, pero que funciona. Deja que $A=\max |f|$ . Utilizar el MVT para limitar $|f|$ en $Ax$ , entonces mira $f(1/2)$ y mostrar que es demasiado pequeño...