¿Cómo de detallada tiene que ser una prueba y se limita el formato a texto y ecuaciones?

Question

Dado que alguien afirma una prueba para un problema y se pregunta a 100 matemáticos altamente cualificados si esta prueba es válida, ¿estarán todos de acuerdo en que es válida o todos afirmarán que es inválida?

En otras palabras, ¿es una cadena de lógica única y pura? ¿O es como la ley, donde cuando se presentan pruebas muy convincentes en un juicio, todavía puede haber alguna duda? ¿Existe algún conjunto de reglas que haga que una prueba sea única y universalmente entendida por una máquina?

Se puede presentar una demostración con el máximo detalle y entrar en los axiomas más fundamentales de las matemáticas, o se pueden omitir los puntos clave y decir simplemente " claramente, esto y aquello es el caso ".

Mi segunda pregunta es con respecto al formato. Siempre veo pruebas con texto y ecuaciones, pero usted también muestra un gráfico o una tabla de verdad o un dibujo. ¿Las ilustraciones también se consideran pruebas (si se presentan de forma aislada)?

Answer 1

Una prueba debe ser inequívocamente clara para el público al que va dirigida. No debe dejar lugar a dudas. Para un estudiante que está estudiando por primera vez las pruebas, sería una mala idea confundir una ilustración con una prueba formal, porque eso le hace dudar de si la cuestión se ha abordado con rigor. Un matemático profesional que conozca bien los argumentos clásicos, los trucos y la jerga puede rellenar las lagunas técnicas que deja un dibujo o un esquema de demostración. Por lo tanto, un dibujo puede ser una prueba para un público profesional, siempre que pueda interpretarlo de forma inequívoca.

Answer 2

La respuesta a su segunda pregunta es "sí". Véase, por ejemplo, este artículo de la wikipedia en una prueba sin palabras.

Answer 3

En la mayoría de los casos, una demostración matemática es una forma de comunicación a otros matemáticos. En ese sentido, cualquier cosa que transmita eficazmente la idea de la prueba al receptor de forma convincente es un formato legítimo.

En el estudio de la lógica formal, las cosas pueden ser un poco diferentes: he oído describir este campo como "cualquier matemática en la que las pruebas se manipulan como objetos matemáticos por derecho propio". En este contexto, lo que constituye una prueba puede ser mucho más estricto: se puede llegar a definiciones del tipo "una prueba en el cálculo de predicados es una secuencia finita de fórmulas lógicas, cada una de las cuales se construye a partir de sus predecesoras mediante una de las siguientes reglas..." o "una prueba de una proposición en este sistema de tipos es un valor que habita en un tipo correspondiente a esa proposición". La verificación de esas pruebas es entonces un proceso puramente mecánico y automatizable, lo cual es tranquilizador, pero pueden ser torpeza práctica para algunos teoremas .