¿Cómo se debe ir sobre la obtención de la "matemática de la madurez"?

Question

tl;dr: Es la madurez en matemáticas mejor obtenidos por hacer temas difíciles ligeramente fuera de su alcance, o haciendo más simple de los sujetos para adquirir experiencia?

El final del semestre está cerca, y tengo que recoger mis temas para el otoño. Ser un estudiante de primer año, me decidí a hacer Álgebra Abstracta dos semestres temprano, viendo que parecía caer más cerca de mis intereses. Yo no soy capaz de definir claramente lo que mi matemáticos intereses todavía, pero empiezo a ver una tendencia que prefiero los sujetos que utilizan una gran cantidad de estructuras discretas, etc, mientras que tiendo a disgusto temas que me obliga a memorizar una gran cantidad de fórmulas que, a menudo, la omisión de pruebas, alegando que vamos a ir más rigurosamente a través de ellos en futuros cursos. (Este fue el caso con HS-matemáticas y de la Calc 1, donde en el SA simplemente memorizado métodos, hemos aprendido un poco más de rigor en Calc 1, lo que es una experiencia muy agradable.)

Estoy haciendo bastante bien en Álgebra Abstracta. Ahora, tengo la opción de hacer Álgebra Conmutativa próximo semestre. Cuando le pregunté a mi profesor acerca de ella, me dijeron que "mientras el Álgebra Abstracta es el único curso que funciona como una preparación directa para el Álgebra Conmutativa, el último tema requiere mucha madurez en matemáticas."

El próximo semestre las asignaturas de Análisis Real y Calc 3 son obligatorias para mi grado. Un tercer tema es opcional (obligatorio tener un tercer sujeto, que es opcional), y estoy dudando entre la Estadística, Matemática Discreta y Álgebra Conmutativa. Ya estoy familiarizado con la mayoría de los planes de estudio de Matemática Discreta. Debo hacer Estadísticas para ganar más "ancho" en mi conocimiento matemático, o que debo hacer Matemáticas Discretas, la cual está más estrechamente relacionado con lo que quiero hacer en el futuro? O debo ir con el Álgebra Conmutativa, donde estoy seguro de que mi verdadero interés radica?

Answer 1

Hay un viejo apócrifo de la cita de von Neumann: "Joven, en matemáticas, no entiendes los conceptos, que acaba de acostumbrarse a ellos."

No se que malo, pero hay una medida de verdad en lo que dijo. Al estudiar más cosas, todo comienza a tener más sentido: el nuevo material arroja luz sobre el antiguo.

Gran parte de su pregunta para más consejos específicos acerca de qué rumbo debe tomar; no sabiendo que personalmente, no me arriesgo a dar una respuesta. Solo voy a decir un poco acerca de tu pregunta del título.

Creo que hay dos aspectos matemáticos de la madurez. Uno es una función creciente de cuánto matemáticas que he leído. Algunos no es que incluso específicos para el área de estudio. La prueba de la escritura tiene su propia (en su mayoría no escritas) de los convenios; seguramente encontrará que su experiencia en álgebra abstracta ayuda con el análisis real. Algunos conceptos básicos que se muestran en casi todas partes, como las relaciones de equivalencia.

Otro aspecto es el de acostumbrarse a su estilo personal de aprendizaje, y con el tiempo usted va a centrarse en lo que funciona para usted y tratar de evitar lo que no.

Ejemplo: cuando yo era más joven, solía parar después de una lectura de una prueba en caso de que no se "haga clic en"; me gustaría pensarlo por días antes de proceder. Ahora me parece que es más eficaz para mantener la lectura, descremada en adelante, y tratar de consultar a otros tratamientos.

Otro ejemplo, más técnica: dada una relación de equivalencia en una estructura algebraica, a menudo tenemos una opción de (1) el trabajo con los elementos del cociente de la estructura; (2) trabajar con la relación de equivalencia; (3) el trabajo con elementos representativos de las clases de equivalencia. Por ejemplo, decir $N$ es un subgrupo normal de $G$. Podemos escribir (aN), (bN)=cN (ecuación entre los elementos de las $G/N$) o $ab\equiv c\mod N$ (pensar en términos de congruencia mod $N$) o la selección de los elementos $a\in aN$, $b\in bN$, y $c\in N$ (elementos representativos), y escribir la ecuación como $ab=cn, n\in N$. Dependiendo de lo que usted está haciendo, usted puede encontrar uno u otro de estos enfoques más útiles o simplemente más agradable a su propio estilo matemático.

Comentario Final sobre el álgebra conmutativa, específicamente: dos de los grandes fuentes históricas de la asignatura se geometría algebraica y la teoría algebraica de números; la geometría algebraica, a su vez, tiene sus raíces en el ordinario de la geometría analítica y también la teoría de superficies de Riemann. A veces, incluso un casual extracción de las raíces históricas pueden hacer cosas más comprensible y menos "acaba de acostumbrarse a él". Para los que se encuentran los conceptos de localización, y la ramificación de primer ideales, mucho más intuitivo cuando me enteré de cómo estos salen de la teoría de superficie de Riemann.

Answer 2

Para obtener madurez en matemáticas, creo que se debe trabajar tanto en cosas nuevas (que usted puede encontrar muy difícil) y también cosas viejas (que es generalmente el más fácil). Las buenas ideas se alimentan mutuamente dado una mitad de una oportunidad.

Cuando el aprendizaje de cosas nuevas, a menudo es bueno para buscar ideas que unificar y/o aclarar lo que ya sabemos. Los siguientes temas están llenos de tales ideas, y muy recomendables:

• la teoría de conjuntos,
• el fin de la teoría,
• categoría de la teoría de la
• álgebra universal

Una vez que hayas hecho esto por un tiempo y cansado de ella, volver y reprender a algunos viejos resultados. Reprueba que el núcleo de un anillo homomorphism es un ideal. Tal vez hacerlo en más generalidad de este tiempo; ¿ por semiring homomorphisms entre semirings (la prueba es que no es difícil en este caso). Entonces, tal vez convenza de que la suma de dos transformaciones lineales es en sí misma una transformación lineal. Etc. Cada tan a menudo va a volver a descubrir una nueva idea; te darás cuenta de que la verdadera razón por la que la suma de lineal se transforma en sí es lineal, es porque $(x+y)+(x'+y') = (x+x')+(y+y')$. Lo de saltar en línea y preguntar acerca de este tipo de estructuras, y alguien que actualmente sabe más que usted menciona medial de los magmas y conmutativa algebraicas teorías. Así que usted siga los enlaces y he aquí! Nuevas ideas! Y están conectadas a la categoría de teoría que ya se está estudiando. En matemáticas, hay muchas, muchas conexiones. Un juego que tienes que jugar constantemente es: puedo entender conceptos más con menos ideas?

Usted debe, principalmente, a trabajar en cosas interesantes que te encuentras.

También, cuando el viejo, familiar ideas no son 100% claro, es a menudo el caso de que usted necesita para inventar nuevas maneras de mirar las cosas, que felizmente a menudo son casos especiales de mucho más general de las ideas que ya son conocidos. Eso está bien; esta es la comprensión de cómo se gana.

Te dejo con una cita de Halmos:

No se acaba de leer; luchar contra él! Pregunte a su propia pregunta, busque su propio ejemplos, descubre sus propias pruebas. Es la hipótesis de que es necesario? Es el conversar verdad? Lo que sucede en el clásico caso especial? ¿Qué acerca de los degenerados de los casos? ¿De dónde viene el uso de la prueba de la hipótesis?

Cuando usted hace la matemáticas de esta manera, la madurez en matemáticas termina "simplemente sucede". Sí, es una lucha, pero la lucha es la claridad de pensamiento y la sencillez de comprensión; la madurez de obtener de forma gratuita, como una especie de subproducto.