Demostrar que $13$ divide el número de ${}^910 + 23$.

Question

Demostrar que el número de $13$ divide el número de $\large \left( 10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}}} + 23\right)$.

Answer 1

$$K\equiv 10^{10^{\ldots}}\pmod{13}$$

Por Fermat Poco Teorema tenemos:

$$K\equiv 10^{10^{\ldots}\pmod{12}}\equiv 10^{(-2)^{\ldots}\pmod{12}}\pmod{13}$$

Pero $(-2)^k\equiv 4\pmod{12}, \forall k\in\mathbb Z_{\ge 2}$.

Por lo tanto

$$K\equiv 10^{4}\equiv 3^4\equiv 27\cdot 3\equiv 3\equiv -23\pmod{13}\ \ \ \square$$