Comprender el principio de reflexión de Schwarz

Question

Actualmente estoy leyendo el Análisis Complejo de Stein y Shakarchi, y creo que hay algo que no estoy entendiendo bien sobre el principio de reflexión de Schwarz. Este es mi problema:

Supongamos que $f$ es una función holomórfica en $\Omega^+$ (un subconjunto abierto del plano complejo superior) que se extiende continuamente a $I$ (un subconjunto de $\mathbb{R}$ ). Sea $\Omega^-$ sea el reflejo de $\Omega^+$ a través del eje real.

Tome $F(z) = f(z)$ si $z \in \Omega^+$ y $F(z) = f(\overline{z})$ es $z \in \Omega^-$ . Podemos ampliar $F$ continuamente a $I$ . ¿Por qué la función $F$ holomorfo en $\Omega^+ \cup I \cup \Omega^-$ ?

Creo que hay algún detalle de una prueba que he pasado por alto. Mi intuición me dice que $F$ no es holomorfa por la misma razón que una función definida en $\mathbb{R}^+$ no es necesariamente diferenciable en cero si se extiende para ser una función par.

Answer 1

$f(\bar{z})$ no es holomorfa (a menos que $f$ es constante), ya que $d(f(\bar{z}))=f'(\bar{z}) d\bar{z}$ no es un múltiplo de $dz$ (sino de $d\bar{z}$ ). Tal vez de forma más intuitiva: holomorfo = conforme y que preserva la orientación; $f(\bar{z})$ es conforme, pero cambia la orientación (debido a la reflexión $z\mapsto\bar{z}$ ). De ahí que su función $F$ no es holomorfa en $\Omega^-$ .

Por otro lado, $\overline{f(\bar{z})}$ es holomorfa, ya que hay dos reflexiones. Si $f$ es real en $I$ luego pegando $f(z)$ en $\Omega^+$ con $\overline{f(\bar{z})}$ en $\Omega^-$ se obtiene una función continua en $\Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ y holomorfo en $\Omega^+\cup\Omega^-$ . Entonces es holomorfo en $\Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ por ejemplo, por el teorema de Morera.

Answer 2

Has omitido la condición de que $f$ toma valores reales en $I.$ Imagina que $0 \in I,$ no cambia nada. Una vez que logramos extender a un holomorfo $G$ a ambos lados del eje real, esto dice que la serie de potencias de $G$ alrededor de $0$ tiene todos los coeficientes reales, aunque sólo sea porque todas las derivadas de $G$ en $0$ son reales. A su vez, esto dice que $$ G( \bar{z}) = \overline{G(z)} $$