Una vez leí que la no conmutatividad de los grupos de Lie $SU(2)$ y $SU(3)$ es la razón por la que las interacciones débil y fuerte tienen diagramas de Feynman con vértices cuádruples, donde interactúan cuatro bosones gauge.
¿Es eso correcto? ¿Alguien puede explicar el razonamiento que hay detrás de esto con más detalle?
Comencemos con $U(1)$ electromagnetismo y ver por qué lo hace no tienen esas interacciones. El tensor de intensidad de campo viene dado por $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ y la parte relevante de la Lagrangiana QED es proporcional a $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ . Esto significa que la lagrangiana sólo tiene términos que son como máximo cuadráticos en el campo gauge $A_\mu$ . Por lo tanto, como se deduce de las reglas de Feynman, no se pueden tener más de dos líneas de fotones que se unan en un posible vértice de interacción.
En el caso de las teorías gauge no abelianas como $SU(2)$ y $SU(3)$ la intensidad de campo viene dada esquemáticamente por $F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a+g\;\epsilon^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$ donde he incluido índices para las transformaciones de simetría no abelianas, y g representa una constante de acoplamiento. El término adicional aparece debido a la naturaleza no abeliana del grupo gauge; también puede escribirse en términos de un conmutador. Como se puede ver ahora, al elevar al cuadrado este término se obtienen cuartas potencias en el campo gauge. Esto significa, de nuevo según las reglas de Feynman, que son posibles vértices con cuatro líneas de bosones gauge.
Comentario general a la pregunta (v3):
No abeliano YM [como, por ejemplo, YM con grupo gauge $SU(2)$ ou $SU(3)$ tiene, además de interacciones de bosones gauge cuárticos, interacciones de bosones gauge cúbicos, mientras que la YM abeliana (también conocida como QED) no tiene ninguna de ellas.
Esto se debe a que el Reglas de Feynman para los vértices del bosón gauge cúbico (cuártico) son lineales (cuadráticos) en el álgebra de Lie constantes de estructura $f_{abc}$ respectivamente.
(Recordemos que por definición un álgebra de Lie es abeliano si todas las constantes de estructura $f_{abc}$ desaparecer).
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